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capitolo x — § 69

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Ponendo $n=1,2,3,.....$ si trova

(9) ${\begin{Bmatrix}f(\alpha +h)-f(\alpha )+hf'(\alpha +\theta \,h)=f(\alpha )+hf'(\alpha )+{\frac {h^{2}}{\lfloor {2}}}f''(\alpha +\theta \,h)\\=f(\alpha )+hf'(\alpha )+{\frac {h^{2}}{\lfloor {n}}}f''(\alpha )+{\frac {h^{3}}{\lfloor {3}}}f'''(\alpha +\theta \,h)=.....\end{Bmatrix}}$

La prima formola coincide conl teorema della media di Lagrange. Si avverta che i numeri $\theta$ che compaiono nel 2°, nel 3°, nel 4° ..... membro, sono generalmente distinti l'uno dall'altro (pure essendo tutti compresi tra $0$ ed $1$ ).

Se $f(\alpha )=f'(\alpha )=.....=f^{(n)}(\alpha )=0$ , tale formola si riduce al citato teorema di Lagrange del § 63.

Esempi.

1° Per ottenere la forma, sotto cui Cauchy scrisse il resto $R$ poniamo in (8) $b$ al posto di $x$ ed $x$ al posto di $\alpha$ . Otterremo:

$f(b)=f(x)+{\frac {b-x}{1}}f'(x)+{\frac {(b-x)^{2}}{\lfloor {2}}}f'(x)+.....{\frac {(b-x)^{n}}{\lfloor {n}}}f^{(n)}(x)+R_{n}$

donde:

$R_{n}=f(b)-[f(x)+{\frac {b-x}{1}}f'(x)+.....+{\frac {(b-x)^{n}}{\lfloor {n}}}f^{(n)}(x)]$ .

Consideriamo $R_{n}$ come funzione $R_{n}(x)$ della $x$ . Si ha:

$R_{n}(b)=0,\,R_{n}(x)=R_{n}(x)-R_{n}(b)=(x-b)R'_{n}(y)$ ,

dove $y$ è (per il teorema della media) un punto interno all'intervallo ( $b,x$ ). Quindi, poichè (come dimostra un facile calcolo)

$R'_{n}(x)=-{\frac {(b-x)^{n}}{\lfloor {n}}}f^{(n+1)}(x)$ ,

si ha:}}

$R_{n}(x)=-(x-b){\frac {b-y)^{n}}{\lfloor {n}}}f^{(n+1)}(y)$ .

Questa formola è dovuta a Cauchy. Se poniamo $b=x+h$ , e quindi $y=x+\theta \,h$ ( $0<\theta <1$ ) si otterrà:

$f(x+h)=f(x){\frac {h}{1}}f'(x)+{\frac {h^{2}}{\lfloor {2}}}f''(x)+.....+{\frac {h_{n}}{\lfloor {n}}}f^{(n)}(x)+R_{n}$ ,

ove}}

$R_{n}=h^{n+1}{\frac {1-\theta )^{n}}{\lfloor {n}}}f^{(n+1)}(x+\theta \,h)$

dove naturalmente la figura $\theta$ affatto distinto da quello che compare nella formola di Lagrange.

Teorema 2° $A$ (di Bernstein). Condizione necessaria affinchè $\mathrm {f(x)}$ sia sviluppabile in serie di Taylor nell'intervallo $\mathrm {0\leq x\leq R}$ è che $\mathrm {f(x)}$ sia in tale intervallo differenza di due funzioni $\mathrm {\varphi _{1}(x)}$ e $\mathrm {\varphi _{2}(x)}$ , che ivi non sono negative insieme a tutte le loro derivate.

Infatti, se $f(x)=\sum _{n}a_{n}x^{n}$ , si può indicare con $\varphi _{1}(x)$ [con $-\varphi _{3}(x)$ ] rispetti-

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