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capitolo x — § 69

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Se, tenendo conto, p. es., dei soli primi $8$ , poniamo:

$\log \,2\,=\,{\frac {2}{3}}\,\left\{1+{\frac {1}{3}}{\frac {1}{9}}+.....+{\frac {1}{15}}\left({\frac {1}{9}}\right)^{7}\right\}$ ,

commettiamo l'erore (in difetto)

${\frac {2}{3}}\left\{{\frac {1}{17}}\left({\frac {1}{9}}\right)^{8}+{\frac {1}{19}}\left({\frac {1}{9}}\right)^{9}+.....\right\}={\frac {2}{3\cdot 9^{8}}}\left\{{\frac {1}{17}}+{\frac {1}{19}}{\frac {1}{9}}+{\frac {1}{21}}{\frac {1}{9^{2}}}+.....\right\}<$

$<{\frac {2}{3\cdot 9^{8}}}{\frac {1}{17}}\left\{1+{\frac {1}{9}}+{\frac {1}{9^{2}}}+...\right\}={\frac {2}{3\cdot 17\cdot 9^{8}}}{\frac {1}{1-{\frac {1}{9}}}}={\frac {1}{975725676}}=0,000000001...$

Un tale errore è già dunque estremamente piccolo; e ancor minore lo si renderebbe, se aumentassimo il numero dei termini di cui si tien conto.

Si calcoli $\log 5$ . Si trova

$\log \,5=\log \,4+\log \,{\frac {5}{4}}=2\,\log \,2\,+\log \,{\frac {5}{5}}$ .

Essendo noto $\log 2$ , basterà calcolare

$\log {\frac {5}{4}}=2\left\{{\frac {1}{9}}+{\frac {1}{3}}\left({\frac {1}{9}}\right)^{3}+{\frac {1}{5}}\left({\frac {1}{9}}\right)^{5}+.....\right\}$

ancora più comoda della precedente al calcolo numerico, come il lettore può verificare con metodo simile. I logaritmi fin qui calcolati sono in base $e$ . Per trovare i logaritmi decimali si ricordi che $\log _{10}z=M\log _{e}z$ , ove $M={\frac {1}{\log _{e}10}}={\frac {1}{\log _{e}2+\log _{e}5}}$ si trova facilmente, in virtù dei precedenti calcoli numerici, uguale a $0,434294481\,.....$ e si dice modulo dei logaritmi decimali.

Si ha così $\log _{10}z=2M\left\{{\frac {z-1}{z+1}}+{\frac {1}{3}}\left({\frac {z-1}{z+1}}\right)^{8}+\left({\frac {z-1}{z+1}}\right)^{5}+.....\right\}$ .

Il calcolo delle tavole logaritmiche viene poi facilitato da altri artifici: p. es., dall'osservazione che $\log _{10}10^{n}=n$ , che il logaritmo di un prodotto è uguale alla somma dei logaritmi dei fattori, che $\log(n+1)=\log n+\log {\frac {n+1}{n}}$ ; cosicchè, noto $\log \,n$ si calcola tosto $\log \,(n+1)$ quando si conosce $\log {\frac {n+1}{n}}$ ; il quale ultimo logaritmo viene espresso da (2) sotto forma di serie rapidamente convergente, specialmente se $n$ è un numero

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