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dedotto o dallo stesso problema che si studia, o dal fatto che si esamina una funzione ${\displaystyle f(x)}$ continua in un intervallo finito: cosicchè in tal caso il teorema di Weierstrass ci assicura dell'esistenza di tali punti ${\displaystyle A}$. Notiamo che:

Un punto ${\displaystyle \mathrm {A} }$, dove ${\displaystyle \mathrm {f(x)} }$ riceve il suo massimo, o il suo minimo valore, o è un punto di massimo o di minimo (relativo) secondo le precedenti definizioni, oppure cade agli estremi dell'intervallo ${\displaystyle \mathrm {I} }$ ove ${\displaystyle \mathrm {f(x)} }$ è definito (perchè le precedenti definizioni si riferiscono soltanto ai punti interni all'intervallo, ove ${\displaystyle f(x)}$ è definita). Cosicchè tali punti ${\displaystyle \mathrm {A} }$ sono da ricercarsi trai punti che o sono punti di massimo o minimo relativo, oppure sono estremi all'intervallo ${\displaystyle I}$. Anzi è nei casi più elementari lecito trascurare gli estremi di ${\displaystyle \mathrm {I} }$.

Da ciò risalta quanta importanza abbia, anche per la ricerca di tali p unti ${\displaystyle A}$, cioè dei punti di massimo o minimo assoluto, la ricerca dei punti di massimo o minimo relativo, di cui ora ci occupiamo.

Dalla figura 25 appare intuitivo che in un punto di massimo o di minimo relativo la tangente alla curva ${\displaystyle y=f(x)}$ è parallela all'asse delle ${\displaystyle x}$, ossia più precisamente che in un tale punto ${\displaystyle f'(x)}$ (ammesso che ${\displaystyle f'(x)}$ esista e sia finita) è nulla. Non è però ver la proposizione reciproca.

Fig. 24. In un punto ${\displaystyle x=a}$ (fig. 24) tale tangente può essere parallela all'asse delle ${\displaystyle x}$, senza che il punto ${\displaystyle x=a}$ sia un punto nè di massimo, nè di minimo.

β) Sia ${\displaystyle a}$ un punto interno all'intervallo, ove ${\displaystyle f(x)}$ è definita. Esista e sia finito ${\displaystyle f'(a)}$. Sappiamo già (§ 62, pag. 193) che:

1° Se ${\displaystyle \mathrm {f'(a)>0} }$ la differenza ${\displaystyle \mathrm {f(a+h)-f(a)} }$ ha per ${\displaystyle \mathrm {h} }$ abbastanza piccolo, il segno di ${\displaystyle \mathrm {h} }$, cosicchè ${\displaystyle \mathrm {f(x)} }$ è crescente nel punto ${\displaystyle \mathrm {a} }$.

2° Se ${\displaystyle \mathrm {f'(a)<0} }$, la differenza ${\displaystyle \mathrm {f(a+h)-f(a)} }$ ha, per ${\displaystyle \mathrm {h} }$ abbastanza piccolo, segno opposto a quello di ${\displaystyle \mathrm {h} }$, cosicchè ${\displaystyle \mathrm {f(x)} }$ è decrescente nel punto ${\displaystyle \mathrm {a} }$.

Quindi, se ${\displaystyle \mathrm {f'(a)\not =0} }$, la funzione in ${\displaystyle \mathrm {A} }$ non ha nè un massimo nè un minimo.

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