Pagina:Lezioni di analisi matematica.pdf/247

Questa pagina è stata trascritta e formattata, ma deve essere riletta.

massimi, minimi, flessi

231

[[Categoria:Pagine che usano RigaIntestazione|Lezioni di analisi matematica.pdf{{padleft:247|3|0]]

Consideriamo i punti $A$ , $B$ della curva, aventi per ascissa $a$ ed $a+h$ , e la retta $AC$ tangente in $A$ . Sia $C$ il punto di tale retta tangente, che ha $a+h$ per ascissa . L'ordinata di $A$ sarà $f(a)$ ; quella di $B$ sarà $f(a+h)$ , perchè i punti $A$ , $B$ giacciono sulla curva $y=f(x)$ .

Fig. 28. Se $\eta$ è l'ordinata di $C$ , il coefficiente angolare della retta $AC$ è

${\frac {{\text{ordinata di}}\,C-{\text{ordinata di}}\,A}{{\text{ascissa di}}\,C-{\text{ascissa di}}\,A}}={\frac {\eta -f(a)}{h}}$ .

Ma $AC$ è tangente in $A$ alla $y=f(x)$ ; il suo coefficiente angolare è perciò $f'(a)$ . E si ha quindi

${\frac {\eta -f(a)}{h}}=f'(a)$ .

Donde, risolvendo rispetto ad $\eta$ , si ha che l'ordinata $\eta$ di $C$ vale $f(a)+hf'(a)$ . Quindi la differenza

(ordinata di $B$ ) $-$ (ordinata di $C$ ) $=$

$=f(a+h)[f(a)+hf'(a)]=[f(a+h)-f(a)]-hf'(a)=$

$=hf'(a+\theta \,h)-hf'(a)=h|f'(a+\theta \,h)-f'(a)|\,\,\,$ ; (1)

$0<\theta <1$ ,

come si riconosce tosto in virtù del teorema della media di Lagrange,

Distinguiamo ora parecchi casi:

1° La $f'(x)$ sia in $x=a$ crescente. In tal caso

$f'(a+\theta \,h)-f'(a)$

Questa voce è stata pubblicata da Wikisource. Il testo è rilasciato in base alla licenza Creative Commons Attribuzione-Condividi allo stesso modo. Potrebbero essere applicate clausole aggiuntive per i file multimediali.