[[Categoria:Pagine che usano RigaIntestazione|Lezioni di analisi matematica.pdf{{padleft:249|3|0]]

la concavità (o la convessità) sono volte verso il basso, si suol dire che in tale punto la curva volge la concavità o convessità) verso l'asse delle ${\displaystyle x}$. La stessa locuzione si usa in un punto di ordinata negativa per dire che la concavità (o convessità) sono volte verso l'alto. Dunque: Una curva volge in un suo punto (di ordinata differente da zero) la concavità (convessità) verso l'asse delle ${\displaystyle \mathrm {x} }$ se ${\displaystyle \mathrm {y} }$ ed ${\displaystyle \mathrm {y''} }$ hanno ivi segno contrario (ugual segno), ossia se ${\displaystyle \mathrm {yy''} }$ è negativo (positivo)..

Si studii l'andamento della curva

Ris. Posto ${\displaystyle Y=y}$, ${\displaystyle X=x+{\frac {a}{3}}}$ (ciò che equivale, quando si considerino ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle Y}$ come nuove coordinate, a fare una traslazione parallela all'asse delle ${\displaystyle x}$), si avrà

ossia ${\displaystyle Y=X^{3}+pX+q}$, dove ${\displaystyle p}$, ${\displaystyle q}$ sono costanti facili a determinarsi, dipendenti soltanto dalle ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle c}$. I massimi e minimi di ${\displaystyle Y}$ si ottengono risolvendo la ${\displaystyle Y'=3X^{+}p=0}$ donde ${\displaystyle X=\pm {\sqrt {-{\frac {p}{3}}}}}$

Se ${\displaystyle p>0}$ non vi sono nè massimi nè minimi e la ${\displaystyle Y}$ è sempre crescente (perchè ${\displaystyle Y'>}$ dappertutto). Se invece ${\displaystyle p\leq \,O}$, sostituendo il valore trovato di ${\displaystyle X}$ in ${\displaystyle Y''=X}$, si ottiene ${\displaystyle \pm 6{\sqrt {-{\frac {p}{3}}}}}$. Se ${\displaystyle p=0}$, questa derivata è nulla, poichè ${\displaystyle Y'''=6\not =0}$, il punto trovato non è un punto nè di massimo, nè di minimo.

Rimane dunque il solo caso di ${\displaystyle p<0}$. In tal caso

${\displaystyle Y''>}$ per ${\displaystyle X+{\sqrt {-{\frac {p}{3}}}}}$. Questo punto è un punto di minimo.

${\displaystyle Y''<0}$ per ${\displaystyle X=-{\sqrt {-{\frac {p}{3}}}}}$. Questo punto è un punto di massimo.

A sinistra del punto di massimo la funzione ${\displaystyle Y}$ (che per ${\displaystyle X=-\infty }$ tende a ${\displaystyle \infty }$) è crescente (come si riconosce veri-