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teorema è geometricamente intuitivo; dall'ipotesi scende infatti che i punti della curva ${\displaystyle t=f(x)}$ di ascissa ${\displaystyle b}$, o di ascissa ${\displaystyle c}$ sono da banda opposta all'asse delle ${\displaystyle x}$. La curva ${\displaystyle y=f(x)}$ quindi deve incontrare almeno in un punto dell'intervallo (${\displaystyle b}$, ${\displaystyle c}$) l'asse delle ${\displaystyle x}$.

γ) Supponiamo: 1° che nell'intervallo (${\displaystyle b}$, ${\displaystyle c}$) la ${\displaystyle f''(x)}$ conservi un segno variabile, che quindi la curva ${\displaystyle y=f(x)}$ volga la concavità sempre da una stessa parte in tale intervallo; 2° che ${\displaystyle f(b)}$ ed ${\displaystyle f(c)}$ siano di segno opposto; 3° che nell'intervallo (${\displaystyle b}$, ${\displaystyle c}$) esista una sola radice ${\displaystyle a}$ dell'equa<ione ${\displaystyle f(x)=0}$.

I numeri ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle c}$ si possono considerare come valori approssimati (l'uno per difetto, l'altro per ecceddo) della radice ${\displaystyle a}$. Vogliamo trovarne dei valori più approssimati. Ricordiamo che per il precedente lemma la curva ${\displaystyle y=f(x)}$ è tutta interna al triangolo ${\displaystyle BCD}$ formato dalle tangenti ${\displaystyle DB}$, ${\displaystyle CD}$ nei punti ${\displaystyle B}$, ${\displaystyle C}$ di ascissa ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle c}$, e della corda ${\displaystyle BC}$

Il punto ${\displaystyle a}$ cercato è dunque compreso tra i punti ove l'asse delle ${\displaystyle x}$ incontra la corda ${\displaystyle BC}$ e la spezzata ${\displaystyle BD+DC}$. Tali punti ${\displaystyle b_{1}}$, ${\displaystyle c_{1}}$ sono due valori più approssimati che ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle c}$ al valore cercato ${\displaystyle a}$. Ripetendo per tali punti quanto si è detto per i punti ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle c}$, troveremo due valori ${\displaystyle b_{2}}$, ${\displaystyle c_{2}}$ ancor più approssimati.

E si può dimostrare che, così continuando, si può ottenere il valore di ${\displaystyle a}$ con qualsiasi approssimazione prefissata.

δ) Il nostro procedimento geometrico si può facilmente tradurre in formole analitiche. L'equazione della corda ${\displaystyle BC}$ è ${\displaystyle {\frac {y-f(b)}{x-b}}={\frac {f(c)-f(b)}{c-b}}}$; l'ascissa della sa intersezione con l'asse delle ${\displaystyle x}$ si ottiene ponendo ${\displaystyle y=0}$, cosicchè ${\displaystyle x={\frac {b\,f(c)-cf(b)}{f(c)-f(b)}}}$.

Le tangenti di ${\displaystyle B}$ e ${\displaystyle C}$ hanno per equazione

          ${\displaystyle {\frac {y-f(b)}{x-b}}=f'(b)}$,                          ${\displaystyle {\frac {y-f(c)}{x-c}}=f'(c)}$;

ed incontrano l'asse delle ${\displaystyle x}$ rispettivamente nei punti

          ${\displaystyle x=b-{\frac {f(b)}{y'(b)}}}$,                              ${\displaystyle x=c-{\frac {f(c)}{f'(c)}}}$.

Quale di questi punti è l'intersezione dell'asse ${\displaystyle x}$ con la spezzata ${\displaystyle BD+DC}$? Evidentemente quello che appartiene all'intervallo (${\displaystyle b}$, ${\displaystyle c}$); e se entrambi appartengono a tale intervallo, quello che è più vicino al punto già determinato ove la retta ${\displaystyle BC}$ incontra l'asse delle ${\displaystyle x}$.