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Se invece non conosciamo per nessun istante la posizione i ${\displaystyle M}$ (non sappiamo donde e a che ora è partito il treno ${\displaystyle M}$), allora, pur conoscendone la velocità ${\displaystyle F(x)}$ ad ogni istante ${\displaystyle x}$, non possiamo dire dove si trovi ${\displaystyle M}$ all'istante ${\displaystyle x}$. ma possiamo ciononostante sapere quale spazio abbia percorso il punto ${\displaystyle M}$ tra due istanti distinti ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$; in altre parole tale spazio è perfettamente determinato, quando è nota ad ogni istante ${\displaystyle x}$ la velocità del punto ${\displaystyle M}$.

Se ${\displaystyle M_{1}}$, ${\displaystyle M_{2}}$ sono due punti mobili sulla stessa retta ${\displaystyle r}$, e se essi posseggono ugual velocità ${\displaystyle F(x)}$ all'istante ${\displaystyle x}$, la distanza ${\displaystyle M_{1}M_{2}}$ non varia col tempo (è costante); cosicchè le distanze ${\displaystyle f_{1}(x)=OM_{1}}$, ${\displaystyle f_{2}(x)=OM_{2}}$ hanno una differenza costante, ossia differiscono solo per una costante additiva.

Analiticamente ciò significa:

Teorema di esistenza.

1° Esiste almeno una funzione ${\displaystyle f(x)}$ che possiede una derivata continua ${\displaystyle F(x)}$ prefissata.

2° Data ${\displaystyle \mathrm {F(x)} }$, per determinare completamente ${\displaystyle \mathrm {f(x)} }$, si deve dare in più il valore di ${\displaystyle \mathrm {f(x)} }$ per un qualche valore dela ${\displaystyle \mathrm {x} }$, p. es., per ${\displaystyle \mathrm {x=a} }$.

3° Data ${\displaystyle \mathrm {F(x)} }$, pure non essendo ${\displaystyle \mathrm {f(x)} }$ completamente determinata, è però univocamente determinata la differenza ${\displaystyle \mathrm {f(a)-f(b)} }$ dei valori ${\displaystyle \mathrm {f(x)} }$, assume in due punti ${\displaystyle \mathrm {x=a,x=b} }$ prefissati arbitrariamente nell'intervallo, ove ${\displaystyle \mathrm {F(x)} }$ è definita.

4° Se ${\displaystyle \mathrm {f_{1}(x),f_{2}(x)} }$ sono due funzioni che hanno la stessa derivata ${\displaystyle \mathrm {F(x)} }$, la differenza ${\displaystyle \mathrm {f_{1}(x)-f_{2}(x)} }$ è una costante. Cosicchè, per trovare rurre le funzioni che hanno derivata ${\displaystyle \mathrm {F(x)} }$ basta trovarna una sola ${\displaystyle \mathrm {f(x)} }$ ed aggiungere poi ad essa una costante arbitraria; la ${\displaystyle \mathrm {f(x)+cost.} }$ sarà poi la generale funzione che ha ${\displaystyle \mathrm {F(x)} }$ per derivata.

β) DImostriamo il primo di questi teoremi. Se ${\displaystyle F(x)\geq \,0}$, l'area ${\displaystyle A}$ del rettangoloide considerato a pagina 165 (ove si scriva ${\displaystyle F}$ al posto di ${\displaystyle f}$)(oppure se tale area non è determinata, la sua area esterna od interna) è proprio (pag. 165) una funzione ${\displaystyle f(x)}$, la cui derivata vale ${\displaystyle F(x)}$.

Se poi ${\displaystyle F(x)}$ assume anche valori negativi, consideriamola in un intervallo finito. Sia ${\displaystyle -k}$ il suo valore minimo. Allora ${\displaystyle \Phi (x)=F(x)+k}$ non è mai negativa, e, per quanto si è dimostrato, è perciò la derivata di una qualche funzione ${\displaystyle \varphi (x)}$. Anche ${\displaystyle F(x)}$ è quindi una derivata; è precisamente la derivata di