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Le (1), (2) equivalgono infatti alle identità

Inoltre per il teor. della media:

dove ${\displaystyle \mathrm {c} }$ è un punto intermedio tra ${\displaystyle \mathrm {a} }$ e ${\displaystyle \mathrm {b} }$. Quindi: Se ${\displaystyle \mathrm {M} }$ è il massimo di ${\displaystyle \mathrm {|F(x)|} }$, sarà: (3)                    ${\displaystyle |\int _{a}^{b}\mathrm {F(x)dx|\leq \,M\,|b-a|} }$.

Se, p. es., ${\displaystyle F(x)}$ indica la velocitù di nn mobile all'istante ${\displaystyle x}$, la seconda e la terza di queste uguaglianze (se ${\displaystyle a<b<c}$), dicono che la somma degli spazi percorsi nell'intervallo (${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$) e nell'intervallo ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle c}$, è uguale allo spazio percorso nell'intervallo ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle c}$); e che lo spazio percorso in un istante (se pure è lecito dire una tale frase) è nullo. La prima delle precedenti uguaglianze ci dice che lo spazio percorso nell'intervallo ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle a}$) si deve riguardare come uguale in valore assoluto e di segno opposto a quello percorso nell'intervallo (${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$); cosicchè la precedente osservazione assume un significato generale.

È evidente che: L'area del rettangoloide limitato dalla curva ${\displaystyle \mathrm {y=F(x)\geq \,0} }$, dall'asse delle ${\displaystyle \mathrm {x} }$ e dalle ordinate ${\displaystyle \mathrm {x=a,x=b} }$ vale ${\displaystyle \int _{a}^{b}\mathrm {F(x)dx} }$, se ${\displaystyle \mathrm {a<b} }$.

Se gli assi fossero obliqui e formassero un andolo ${\displaystyle \mathrm {\omega } }$, il prodotto di questo integrale per ${\displaystyle \mathrm {{\text{sen}}\omega } }$ varrebbe l'area della figura analoga ${\displaystyle \mathrm {0\leq \,y\,\leq \,F(x)} }$; ${\displaystyle \mathrm {a\,\leq \,x\,\leq \,b} }$. Questo teorema coincide con il precedente per ${\displaystyle \mathrm {\omega ={\frac {\pi }{2}}} }$.

Se nell'integrale definito ${\displaystyle \int _{a}^{b}F(x)dx=\int _{a}^{b}F(z)dz}$ consideriamo l'estremo superiore ${\displaystyle b}$ come variabile, e per fissar le idee, poniamo ${\displaystyle b=x}$, otteniamo

che è uguale ad ${\displaystyle f(x)-f(a)}$ e quindi differisce da ${\displaystyle f(x)}$ soltanto per una costante additiva. Esso è pure un integrale indefinito della ${\displaystyle F(x)}$.