[[Categoria:Pagine che usano RigaIntestazione|Lezioni di analisi matematica.pdf{{padleft:266|3|0]]Si ritrova così la formola di Taylor, col resto sotto forma di integrale (cfr. la (9) del§ 69 a pag. 214, dove si ponga ${\displaystyle h=a}$, ${\displaystyle \alpha =0}$).

3° Trovare:                    ${\displaystyle \int {\text{arctg}}\,x\,dx}$. Possiamo scrivere:

posto

Quindi:

1° Ci occupiamo naturalmente soltanto delle frazioni reali (quozienti di polinomi a coefficienti reali). Diremo semplice ogni frazione del tepo ${\displaystyle {\frac {A}{x+a}}}$, cioè ogni quoziente di una costante ${\displaystyle A}$ per un polinomio di primo grado ${\displaystyle x+a}$, ed ogni frazione del tipo

cioè ogni quoziente di un polinomio ${\displaystyle Mx+N}$ di primo grado per un trinomio ${\displaystyle x^{2}+px+q}$ di secondo grado, purchè

cioè purchè l'equazione ${\displaystyle x^{3}+px+q=0}$ abbia radici complesse.

Teor. Ogni frazione ${\displaystyle {\frac {P(x)}{T(x)}}}$ è somma

${\displaystyle \alpha }$) di un polinomio ${\displaystyle Q(x)}$ (il quoziente ottenuto dividendo ${\displaystyle P(x)}$ per ${\displaystyle T(x)}$; esso è nullo soltanto se il grado ${\displaystyle p}$ di ${\displaystyle P(x)}$ è inferiore al grado ${\displaystyle t}$ di ${\displaystyle T(x)}$;