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${\displaystyle \beta }$) di frazioni semplici, ciascuna delle quali ha per denominatore uno dei fattori di primo o di secondo grado, in cui, secondo il teorema del § 16, pag. 52-53, si può decomporre il denominatore ${\displaystyle \mathrm {T(x)} }$;

${\displaystyle \gamma }$) della derivata di una frazione

il cui denominatore ${\displaystyle \mathrm {W(x)} }$ è il massimo comun divisore di ${\displaystyle \mathrm {T(x)} }$ e ${\displaystyle \mathrm {T'(x)} }$, ossia il polinomio che si deduce da ${\displaystyle \mathrm {T(x)} }$ diminuendo di un'unità l'esponente di ognuno dei suoi fattori precedentemente citati, mentre ${\displaystyle \mathrm {V(x)} }$ è un polinomio di grado inferiore al grado di ${\displaystyle \mathrm {W(x)} }$. Cosicchè, se ${\displaystyle \mathrm {T(x)} }$ è privo di fattori multipli, ${\displaystyle \mathrm {W(x)} }$ è una costante (polinomio di grado zero), ${\displaystyle V(x)}$ è quindi nullo; e questa funzione ${\displaystyle \mathrm {\frac {V}{W}} }$ è nulla.

Oss. Notiamo che in ${\displaystyle \gamma }$) abbiamo dato due modi per calcolare ${\displaystyle W(x)}$. Secondo il caso, sarà più utile l'uno o latro procedimento.

Così, p. es., se

dal teorema precedente risulta che in ogni frazione ${\displaystyle {\frac {P(x)}{T(x)}}}$ si può decomporre nella somma: ${\displaystyle \alpha }$) del polinomio ${\displaystyle Q(x)}$ ottenuto dividendo ${\displaystyle P(x)}$ per ${\displaystyle T(x)}$; ${\displaystyle \beta )}$ di tre frazioni semplici           ${\displaystyle {\frac {A_{1}}{x+a_{1}}}}$     ,     ${\displaystyle {\frac {A_{2}}{x+a_{2}}}}$     ,     ${\displaystyle {\frac {Mx+N}{(x^{2}+px+q)}}}$; ${\displaystyle \gamma }$ e infine di una derivata

E noi, anzichè dimostrare il teorema in generale, ci riferiremo per semplicità a questo esempio. La dimostrazione si estende però al caso più generale soltanto con qualche complicazione di notazioni.

Dim. Siano ${\displaystyle Q(x)}$, ${\displaystyle R(x)}$ quoziente e resto ottenuti dividendo ${\displaystyle P(x)}$ per ${\displaystyle T(x)}$. Tale resto ${\displaystyle R(x)}$ sarà di grado inferiore al grado di ${\displaystyle T(x)}$, che nel caso attuale vale ${\displaystyle 9}$. Potremo porre