Pagina:Lezioni di analisi matematica.pdf/270

Questa pagina è stata trascritta e formattata, ma deve essere riletta.

254

capitolo xii — § 76

[[Categoria:Pagine che usano RigaIntestazione|Lezioni di analisi matematica.pdf{{padleft:270|3|0]]

$\beta$ ) ogni frazione semplice del tipo

${\frac {A}{x+a}}$ ;

$\beta '$ ) ogni frazione semplice del tipo

${\frac {Mx+N}{x^{2}+px+q}}$ $\left({\frac {p^{2}}{4}}-q<0\right)$ ;

$\gamma$ ) ogni espressione ${\frac {d}{dx}}{\frac {Vx}{W(x)}}$ .

Ora gli integrali di $(\alpha )$ , $(\beta )$ , $(\gamma )$ sono rispettivamente

$k_{0}x+k_{1}{\frac {x^{2}}{2}}+k_{2}{\frac {x^{3}}{3}}+.....+k_{s}{\frac {x^{s+1}}{s-1}}+{\text{cost}}$ .

$A\log |x+a|+{\text{cost}}$ .

${\frac {V(x)}{W(x)}}+{\text{cost}}$ .

Basterà saper calcolare l'integrale di $\beta '$ ), cioè:

$\int \,{\frac {Mx+N}{x^{2}+px+q}}dx$ ${\frac {p^{2}}{4}}-q<0 \choose {\text{cioe}}\,k={\sqrt {q-{\frac {p^{2}}{4}}{\text{reale}}}}$ .

Ora:

$Mx+N={\frac {M}{2}}(2x+p)+(\left(N-p{\frac {M}{2}}\right)$ .

Cosicchè: $\int {\frac {Mx+N}{x^{2}+px+q}}dx={\frac {M}{2}}\int {\frac {2x+p}{x^{+}px+q}}dx+\left(N-p{\frac {M}{2}}\right)\int {\frac {dx}{x^{2}+px+q}}$ Ora:

$\int {\frac {2x+p}{x^{2}+px+q}}dx=\log(x^{2}+px+q)$ .

E, poichè

$x^{2}+px+q=\left(x+{\frac {p}{2}}\right)^{2}+k^{2}$ ,

sarà:

$\int {\frac {dx}{x^{2}+px+q}}=\int {\frac {d\left(x+{\frac {p}{2}}\right)}{\left(x+{\frac {p}{2}}\right)^{-2}+k^{2}}}={\frac {1}{k}}\,{\text{artg}}\,{\frac {x+{\frac {p}{2}}}{k}}$ .

Questa voce è stata pubblicata da Wikisource. Il testo è rilasciato in base alla licenza Creative Commons Attribuzione-Condividi allo stesso modo. Potrebbero essere applicate clausole aggiuntive per i file multimediali.