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di una funzione razionale della ${\displaystyle z}$: integrale che quindi sappiamo calcolare.

Oss. Il caso di una funzione ${\displaystyle f}$ razionale nella ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle {\sqrt[{p}]{bx+c}}}$, ${\displaystyle {\sqrt[{q}]{bx+c}}}$, ${\displaystyle [r]{bx+c}}$, .....(${\displaystyle p}$, ${\displaystyle q}$, ${\displaystyle r}$, ..... interi positivi) si riduce subito al precedente, assumendo per ${\displaystyle m}$ il minimo comune multiplo di ${\displaystyle p}$, ${\displaystyle q}$, ${\displaystyle r}$, .....

${\displaystyle \epsilon }$) Calcoliamo l'integrale ${\displaystyle \int f(x,{\sqrt {ax+b}},{\sqrt {cx+d}})dx(a,b,c,d={\text{cost.}})\,(a\not =0)}$ di una funzione razionale ${\displaystyle f}$ di ${\displaystyle x,{\sqrt {ax+b}},{\sqrt {cx+d}}}$. Posto ${\displaystyle z={\sqrt {ax+b}}}$ e quindi ${\displaystyle x={\frac {z^{2}-b}{a}}}$, ${\displaystyle dx={\frac {2}{a}}zdz}$, questo integrale diventa ${\displaystyle {\frac {2}{a}}\int \left({\frac {z^{2}-b}{a}},z,{\sqrt {{\frac {c}{a}}z^{2}+{\frac {(da-cb)}{a}}}}\right)zdz}$, che è l'integrale di una funzione razionale di ${\displaystyle z}$ e di ${\displaystyle {\sqrt {{\frac {c}{a}}z^{2}+\left(d-{\frac {cb}{a}}\right)}}}$, cioè un integrale del tipo che noi abbiamo già imparato a calcolare in ${\displaystyle \gamma }$).

${\displaystyle \zeta }$) Integrali binomii, — Si voglia calcolare l'integrale ${\displaystyle \int x^{m}(ax^{n}+b)^{p}dx}$ ove ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$ sono costanti ed ${\displaystyle m}$, ${\displaystyle n}$, ${\displaystyle p}$ numeri razionali.

${\displaystyle A}$) Se ${\displaystyle p}$ è intero, si ponga ${\displaystyle x=z^{s}}$, indicando con ${\displaystyle s}$ il minimo comune multiplo dei denominatori di ${\displaystyle m}$, ${\displaystyle n}$, che per ipotesi sono numeri tratti (cfr, ${\displaystyle \delta }$), e ci si riduce al solito caso dell'integrale di una funzione razionale.

{{smaller|${\displaystyle B}$) Se ${\displaystyle p}$ è una funzione ${\displaystyle {\frac {r}{s}}}$ (con ${\displaystyle r}$, ${\displaystyle s}$ interi), posto

il nostro integrale diventa:

che è l'integrale di una funzione razionale, e noi sappiamo calcolare, se ${\displaystyle {\frac {m+1}{n}}}$ è intero.

Possiamo trovare un altro caso, in cui possiamo calcolare il nostro integrale. Basti osservare che, posto ${\displaystyle x={\frac {1}{y}}}$, esso diventa

che, per quanto dicemmo in ${\displaystyle B}$ sappiamo calcolare se ${\displaystyle {\frac {\mu +1}{n}}}$ è intero cioè se ${\displaystyle {\frac {-m-1-np}{n}}}$ è intero, cioè se ${\displaystyle {\frac {m+1}{n}}+p}$ è intero.

In conclusione sappiamo calcolare il precedente integrale, riducendolo al calcolo di una funzione razionale, quando è intero uno dei tre numeri ${\displaystyle \mathrm {p} }$, oppure ${\displaystyle \mathrm {\frac {m+1}{n}} }$, oppure ${\displaystyle \mathrm {{\frac {m+1}{n}}+p} }$.

Oltre al quadro del § 74, ${\displaystyle \zeta }$, pag. 244, noi ne daremo qui un altro che riassume i più importanti risultati ottenuti fin qui.