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${\displaystyle \alpha }$) Finora ci siamo limitati ad integrali di funzioni continue nell'intervallo considerato. Vogliamo ora definire gli integrali di una funzione ${\displaystyle f(x)}$ che nell'intervallo (${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$) che si considera dappertutto continua, eccettuato un numero finito di punti singolari.

Ciò, per es., avviene se volessimo studiare l'espressione ${\displaystyle \int _{0}^{1}{\frac {1}{\sqrt {x}}}dx}$, poichè ${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {x}}}}$ è singolare per ${\displaystyle x=0}$. Osserveremo che, se ${\displaystyle \epsilon }$ è un numero positivo piccolo a piacere, ${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {x}}}}$ è continua nell'intervallo ${\displaystyle \epsilon .....1}$; cosicchè ha un significato perfettamente determinato lo ${\displaystyle \int _{\epsilon }^{1}{\frac {1}{\sqrt {x}}}dx}$, che, calcolato coi soliti metodi, si riconosce uguale a ${\displaystyle (2-2{\sqrt {\epsilon }})}$.

Calcoliamo ora il

Tale limite esiste ed è uguale a ${\displaystyle 2}$.

E noi porremo per definizione

Più in generale, se nello ${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)dx}$ è, per esempio, ${\displaystyle a<b}$ e la ${\displaystyle f(x)}$ è singolare in ${\displaystyle a}$, ma è continua nell'intervallo ${\displaystyle a+\epsilon ,.....b}$, dove ${\displaystyle \epsilon }$ è un numero positivo piccolo a piacere (${\displaystyle \epsilon <b-a}$), allora noi cercheremo il ${\displaystyle \lim _{\epsilon =0}\int _{a+\epsilon }^{b}f(x)dx}$. Se questo limite esiste ed è finito, porremo per definizione

Se invece tale limite non esiste o non è finito ${\displaystyle \left({\text{come, p. es., avviene di}}\lim _{\epsilon =0}\int _{a+\epsilon }^{b}{\frac {dx}{x-a}}\right)}$, tale integrale sarà per noi un simbolo privo di significato.