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super ${\displaystyle |f(x)|\leq \,{\frac {k}{(x-a)^{n}}}}$ [se ${\displaystyle |\epsilon |<|e-a|}$], lo ${\displaystyle \int _{a+\epsilon }^{c}\varphi (x)dx}$ non supera in valore assoluto l'integrale di ${\displaystyle {\frac {k}{(x-a)^{n}}}}$, che tende per ${\displaystyle \epsilon =0}$ a un limite finito. Perciò ${\displaystyle \int _{a+\epsilon }^{b}\varphi (x)dx}$ tende per ${\displaystyle \epsilon =0}$ a un limite finito, che sarà il valore di ${\displaystyle \int _{a}^{b}\varphi (x)dx}$; altrettanto dicasi di ${\displaystyle \int _{a+\epsilon }^{b}\Psi (x)dx}$. Poichè ${\displaystyle f(x)=\varphi (x)-\Psi (x)}$, lo integrale ${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)dx}$ esisterà dunque, se in un intorno di a vale la

ossia, come si suol dire, se ${\displaystyle \mathrm {f(x)} }$ è per ${\displaystyle \mathrm {x-a=0} }$ infinito di ordine non maggiore di ${\displaystyle \mathrm {n<1} }$.

In modo analogo si prova che se, per ${\displaystyle x}$ abbastanza grande, la funzione continua ${\displaystyle f(x)}$ soddisfa alla ${\displaystyle |f(x)|\leq \,k{\frac {1}{x^{2}}}<math>(<math>k}$, ${\displaystyle n}$ cost.; ${\displaystyle n>1}$), ossia se ${\displaystyle \mathrm {f(x)} }$ per ${\displaystyle \mathrm {x=\infty } }$ diventa infinitesima di ordine non minore di ${\displaystyle \mathrm {n>1} }$, allora esiste lo ${\displaystyle \mathrm {\int _{a}^{\infty }f(x)dx} }$.

Certe frazioni razionali si possono integrare in modo semplice e diretto.

Poniamo, p. es., ${\displaystyle I_{n}=\int {\frac {dx}{(x^{2}+1)^{n}}}}$ dove ${\displaystyle n}$ è un intero positivo. Integrando per parti si trova:

donde:

Ora, essendo ${\displaystyle I_{1}={\text{arctg}}\,x}$ la formola precedente per ${\displaystyle n=1}$, ${\displaystyle 2}$, ${\displaystyle 3}$, ecc. permette di calcolare successivamente ${\displaystyle I_{2}}$, ${\displaystyle I_{3}}$, ecc. (cfr. la seconda formola di pag. 245).