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calcolo differenziale perl e funzioni, ecc.

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aggiungendo e togliendo il valore della funzione nel punto $C$ , uguale a

$[f(x+h,y+k)-f(x+h,y)]+[f(x+h,y)-f(x,y)]$

che è la somma di due differenze.

Se consideriamo $x$ ed $h$ come costanti, la $f(x+h,y)$ si può considerare funzione della sola $y$ , ponendo $f(x+h,y)=\varphi (y)$ .

Sarà allora:

$f(x+h),y+k)=\varphi (y+k)$ ,

cosicchè:

$f(x+h,y+k)-f(x+h,y)=\varphi (y+k)-\varphi (y)$ ,

che per il teorema della media (per le funzioni di una sola variabile) è uguale a

$k\varphi '_{y}(y+\theta k)\,\,\,(0<\theta <1)$ ;

cioè, essendo

$\varphi '_{y}(y+\theta k)=f'_{y}(x+h,y+\theta k)$ ,

sarà:

$[f(x+h,y+k)-f(x+h,y)]=kf'_{y}(x+h,y+\theta k)$ .

Analogamente si dimostrerebbe:

$[f(x+h,y)-f(x,y)]=hf'_{x}(x+\theta 'h,y)\,\,\,(0<\theta '<1)$ .

Sommando membro a membro queste due ultime uguaglianze si ottiene:

$f(x+h,y+k)-f(x,y)=hf'_{x}(x+\theta 'h,y)+$

$+kf'_{y}(x+h,y+\theta k)$ .

Quest'ultima formola estende il teorema della media a funzioni di due variabili. Essa ci dice che la differenza dei valori della funzione $\mathrm {f(x,y)}$ in due punti $\mathrm {(x+h,y+k)}$ e $\mathrm {(x,y)}$ è èuguale alla somma del prodotto di $\mathrm {h}$ per la derivata parziale della funzione data, rispetto alla $\mathrm {x}$ , calcolata in un punto intermedio del segmento $\mathrm {(x,y),(x+h,y)}$ e del prodotto di $\mathrm {k}$ per la derivata parziale rispetto a $\mathrm {y}$ della funzione data, calcolata in un punto intermedio del segmento $\mathrm {(x+h,y),(x+h,y+k)}$ .

Qui si suppone soltanto che le $\mathrm {f'_{x},f'_{y}}$ esistano (e siano quindi finite),.

Scambiando gli assi delle $x,y$ si ottiene una nuova formola della media.

Altre formole si potrebbero ottenere variando la linea che congiunge il punto $A$ al punto $B$ .

18 — G. Fubini, Analisi matematica.

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