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Diremo poi somma di due numeri ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$ il numero che misura il segmento somma dei due segmenti che hanno per misura ${\displaystyle x}$ oppure ${\displaystyle y}$.

Si riconosce facilmente che:

1° Il segno della somma di due numeri è uguale al segno dell'addendo, il cui valore assoluto è più grande.

2° Il valore assoluto della somma di due numeri è uguale alla somma o alla differenza dei valori assoluti dei due addendi, secondo che questi hanno o non hanno lo stesso segno.

Queste proprietà potrebbero servire alla definizione puramente analitica della somma di due numeri.

Si estendono facilmente queste definizioni alla somma di più numeri, e si dimostrano le solite regole del calcolo algebrico.

Se ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$, ${\displaystyle C}$, sono tre punti qualsiasi di ${\displaystyle r}$, è per definizione:

${\displaystyle AB+BC=AC=-CA}$,

ossia

${\displaystyle AB+BC+CA=0}$.

Così se ${\displaystyle A_{1}}$, ${\displaystyle A_{2}}$, ${\displaystyle A_{3}}$, ${\displaystyle A_{4}}$ sono punti qualsiasi di ${\displaystyle r}$, è:

${\displaystyle A_{1}A_{2}+A_{2}A_{3}=A_{1}A_{3}}$;

${\displaystyle A_{1}A_{3}+A_{3}A_{4}=A_{4}A_{1}=0}$.

donde:

${\displaystyle A_{1}A_{2}+A_{2}A_{3}+A_{3}A_{4}+A_{4}A_{1}=0}$.

Più in generale, se ${\displaystyle A_{1}\;A_{2}.....,A_{n}}$ sono punti qualsiasi di ${\displaystyle r}$, è ${\displaystyle A_{1}A_{2}+A_{2}A_{3}+.....A_{n-1}A_{n}+A_{n}A_{1}=0}$.

E questa formola vale anche se i punti ${\displaystyle A}$ non sono tutti distinti.

${\displaystyle \gamma }$) Si definisce poi il prodotto di due o più numeri reali (fattori) quel numero che ha per valore assoluto il prodotto dei valori assoluti dei fattori, e il segno + o il segno — secondo che vi è numero pari o dispari di fattori negativi.

Si definiscono poi la sottrazione e la divisione come le operazioni inverse de11’addizione e della moltiplicazione, estendendo quindi le solite regole del calcolo algebrico.

Un numero ${\displaystyle a}$ è minore o maggiore di un altro numero ${\displaystyle b}$, secondochè ${\displaystyle a-b}$ è negativo o positivo.

${\displaystyle \delta }$) È poi evidente che se ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$ sono numeri reali qualsiasi

${\displaystyle |a\pm b|\leq |a|+|b|}$

${\displaystyle |a\pm b|\geq |a|-|b|}$

${\displaystyle |a\pm b|\pm |b|-|a|}$

${\displaystyle |a\cdot b|=|a|\cdot |b|}$.

Se ${\displaystyle b\neq 0}$, allora ${\displaystyle \left|{\frac {a}{b}}\right|={\frac {|a|}{|b|}}}$.