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calcolo differenziale per le funzioni, ecc.

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Si ha pure similmente, ricordando che $z'_{x}$ , $z'_{y}$ sono funzioni di $x,y$ , entrambe funzioni della $t$ , che:

${\frac {dz'_{x}}{dt}}={\frac {\partial z'_{x}}{\partial x}}x'_{t}+{\frac {\partial z'_{y}}{\partial y}}y't=z''_{xx}x'_{t}+z''_{xy}y'_{t}$ ,

${\frac {dz'_{y}}{dt}}=z''_{xy}x'_{t}+z''_{yy}y'_{t}$

se le derivate seconde di <math<z</math> sono finite e continue.

In tale ipotesi si deduce, derivando (1), che:

${\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}={\frac {\partial ^{2}z}{\partial x^{2}}}\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}+2{\frac {\partial ^{2}<}{\partial x\partial y}}{\frac {dx}{dt}}{\frac {dy}{dt}}+{\frac {d^{2}z}{dy^{2}}}\left({\frac {dy}{\partial t}}\right)^{2}+$

$+{\frac {\partial z}{\partial x}}{\frac {d^{x}}{dt^{2}}}+{\frac {\partial z}{\partial y}}{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}$ . (2)

$\beta$ ) Analogamente, se $f$ è funzione delle $n$ variabili $x_{1},x_{2},.....x_{n}$ , tutte funzioni della $t$ , e sela $f$ stessa si può considerare come funzione della $t$ in un certo campo, sarà come ipotesi analoghe:

${\frac {df}{dt}}={\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}{\frac {dx_{1}}{dt}}+{\frac {\partial f}{\partial x_{2}}}{\frac {dx_{2}}{dt}}+.....+{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}{\frac {dx_{n}}{dt}}$ .

$\gamma$ ) Sia ora $f$ una funzione, p. es., di tre variabili $x,y,z$ ; e siano $y,z$ funzioni della $x$ . Posto $\xi =x$ , la $f$ diventa funzione di $\xi ,y,z$ , tutte e tre funzioni della $x$ . Si ha quindi (poichè $\xi =x$ e quindi ${\frac {d\xi }{dx}}=1$ ):

${\frac {df}{dx}}={\frac {\partial f}{\partial \xi }}{\frac {d\xi }{dx}}+{\frac {\partial f}{\partial y}}{\frac {dy}{dx}}+{\frac {\partial f}{\partial z}}{\frac {dz}{dx}}={\frac {\partial f(x,y,z)}{\partial x}}+{\frac {\partial f}{\partial y}}y'_{x}+{\frac {\partial f}{\partial z}}z'_{x}$ .

Si noti anche qui quale differenza passa tra ${\frac {\partial f}{\partial x}}$ e ${\frac {df}{dx}}$ . Per ottenere la prima, si deriva considerando $y$ e $z$ come costanti per ottenere la seconda, si derivi considerando $y$ e $z$ come funzioni di $x$ . Per esempio, se $f=x+y+z,y={\text{sen}}x,z={\text{cos}}x$ , è ${\frac {\partial f}{\partial x}}=1.{\frac {df}{dx}}=1+{\text{cos}}x-{\text{sen}}x$ .

$\delta$ ) Supponiamo $f$ funzione delle due variabili $x,y$ definite dalle:

$x=a+ht,y=b+kt$ ( $a,b,h,k=$ costanti).

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