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${\displaystyle \alpha }$) Si abbia l'equazione:

                         ${\displaystyle f(x,y)=0}$                                                  (1)

Se si può trovare una funzione ${\displaystyle y=\varphi (x)}$ della ${\displaystyle x}$, che, sostituita in (1) al posto della ${\displaystyle y}$, la soddisfi identicamente, noi diciamo che, essa è una funzione della ${\displaystyle x}$ definita in modo implicito, o più brevemente una funzione implicita della ${\displaystyle x}$. Se si riesce a risolvere la (1) rispetto alla ${\displaystyle y}$, si ottiene così la ${\displaystyle y}$ come funzione esplicita della ${\displaystyle x}$.

Così, p. es., l'equazione (di un cerchio riferito a due diametri ortogonali scelti come assi) ${\displaystyle x^{2}+y^{2}-1=0}$ definisce in forma implicita due funzioni ${\displaystyle y}$ della ${\displaystyle x}$ (${\displaystyle -1\leq \,x\leq \,1}$), le quali sotto forma esplicita si scrivono: ${\displaystyle y=+{\sqrt {1-x^{2}}},y=-{\sqrt {1-x^{2}}}}$. La teoria della funzione ${\displaystyle y=f(x)}$ che soddisfa alla ${\displaystyle x-\varphi (y)=0}$, cioè la teoria della funzione inversa (§ 58, pag. 183) della ${\displaystyle x=\varphi (y)}$ è un caso particolare dello studio attuale.

La definizione testè posta si può estendere a casi più generali. Così, se, p. es., esiste una funzione ${\displaystyle y=\varphi (x_{1},x_{2},.....,x_{n})}$ che sostituita al posto della ${\displaystyle y}$ nella

vi soddisfi identicamente, noi diciamo che la ${\displaystyle y=\varphi }$ è una funzione definita in modo implicito dalla precedente equazione.

Se, p. es., esistono due funzioni ${\displaystyle y=\varphi (x_{1},x_{2},.....,x_{n})}$ e ${\displaystyle z=\psi (x_{1},x_{2},.....,x_{n})}$ che, sostituite nelle

     ${\displaystyle f(x_{1},x_{2},.....,x_{n},y,z)=0}$,          ${\displaystyle F(x_{1},x_{2},......x_{n},y,z)=0}$,

vi soddisfano identicamente, no idiciamo che le ${\displaystyle y,z}$ sono funzioni delle ${\displaystyle x_{1},x_{2},....,x_{n}}$ definite in modo implicito dal precedente sistema di equazioni. E si potrebbero in modo simile studiare sistemi formati da più che due equazioni.

${\displaystyle \beta }$) Sia data l'equazione                                                                      (1)

Supponiamo:

1° L'equazione è soddisfatta ponendo, ${\displaystyle x=x_{o},y=y_{0}(x_{o},y_{o}={\text{cost.}})}$.

2° per ${\displaystyle |x-x_{0}|\leq \ h}$ ed ${\displaystyle |y-y_{0}|\leq \,k}$ (h, k</math> costanti) la ${\displaystyle f(x,y)}$ esiste e possiede derivate prima finite continue.

3° La ${\displaystyle {\frac {\partial f(x,y)}{\partial y)}}}$ ha un valore ${\displaystyle b}$ differente da zero nel punto ${\displaystyle x=x_{o},y=y_{0}}$.