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Noi risponderemo affermativamente a queste domande: ciò che basta per la parte teorica di simile studio. nei casi pratici bisognerò di più, se si vogliono evitare troppo lunghi calcolo numerici, che ${\displaystyle |y_{n}-y|}$ sia già piccolo, quando ${\displaystyle n}$ non è molto grande, ossia che le ${\displaystyle y_{n}}$ tendano abbastanza rapidamente al loro limite ${\displaystyle y}$.

E cominciano anzitutto ad osservare che, affinchè sia lecito scrivere le (3) bisogna che ${\displaystyle \psi (x,y_{1}),\psi (x,y_{2}),.....,\psi (x,y_{n}),.....}$ siano espressioni non prive di significato, ossia che i punti ${\displaystyle (x,y_{1})(x,y_{2}),.....(x,y_{n}).....}$ appartengono al campo ove è definita la ${\displaystyle \psi }$, che sia cioè:

Osserviamo, che essendo ${\displaystyle \psi (x,y)=0,\psi '_{n}(x,y)=0}$ per ${\displaystyle x=x_{0},y=y_{0}}$, noi potremo, per la supposta continuità di queste funzioni ,scegliere due numeri ${\displaystyle h_{1}\leq h,k_{1}\leq k}$ così piccoli che per ${\displaystyle |x-x_{0}|\leq h_{1},|y-y_{0}|\leq k_{1}}$ il massimo ${\displaystyle H}$ di ${\displaystyle |\psi '(x,y)|}$ sia minore di ${\displaystyle 1}$, e impiccolire poi il numero ${\displaystyle h_{1}}$ in guisa che il massimo ${\displaystyle M}$ di ${\displaystyle |y_{1}-y_{0}|=|c(x-x_{0}=+\psi (x,y_{0})|}$ soddisfi alla ${\displaystyle M{\frac {1}{1-H}}\leq k_{1}}$. Sarà cioè, riassumendo:

Indicheremo con ${\displaystyle \delta }$ il campo definito dalle ${\displaystyle |x-x_{0}|\leq h_{1},|y-y_{0}|\leq k_{1}}$. DImostreremo che, se ${\displaystyle |x-x_{0}|\leq h_{1}}$ tutti i punti ${\displaystyle (x,y_{1}),(x,y_{2}),.....,(x,y_{n}),.....}$ appartengono a ${\displaystyle \delta }$. Intanto dalle (4) segue ${\displaystyle |y_{1}-y_{0}|\leq M\leq k}$; cosicchè il punto ${\displaystyle (x,y_{1})}$ appartiene certo a ${\displaystyle \delta }$; dimostreremo che altrettanto avviene del punto ${\displaystyle (x,y_{n})}$. Usando il metodo di induzione completa, basterà dimostrare che ${\displaystyle (x,y_{n})}$ appartiene a ${\displaystyle \delta }$, supponendo già dimostrato che i precedenti punti ${\displaystyle (x,y_{m})}$ per ${\displaystyle 1\leq m\leq n-1}$ appartengono a ${\displaystyle \delta }$.

In tal caso dalle (3) segue:                ${\displaystyle |y_{m}-y_{m-1}|=|\psi (x,y_{m-1})-\psi (x,y_{m-2})|{spazi|15}<math>(2\leq m\leq n)}$

che per il teorema della media è il valore assoluto del prodotto di ${\displaystyle (y_{m-1}-y_{m-2}}$ per un valore intermedio di ${\displaystyle \psi '_{n}(x,y)}$. Questo valore intermedio, per le (4), non supera ${\displaystyle H}$, cosicchè ${\displaystyle |y_{m}-y_{m-1}\leq H|y_{m-1}-y_{m-2}|}$.

Ed essendo ${\displaystyle |y_{1}-y_{0}|\leq M}$, se ne deduce successivamente ${\displaystyle |y_{2}-h_{1}|\leq HM,|y_{2}-y_{2}|\leq H|y_{2}-y_{1}|\leq H^{2}M}$, in generale

(5)               ${\displaystyle |y_{m}-y_{m-1}\leq H^{m-1}M}$          ${\displaystyle (1\leq m\leq n)}$.

Ora:

(6)          ${\displaystyle y_{n}=y_{0}+(y_{1}-y_{0})+(y_{2}-y_{1})+.....+(y_{n}-y_{n-1})}$

donde:

(7) ${\displaystyle |y_{n}-y_{0}|\leq M+HM+H^{2}M+...+H^{n-1}M=M(1+H+...+H^{n-1})=}$

Da qui segue tosto che anche ${\displaystyle (x,y_{n})}$ appart'ene a ${\displaystyle \delta }$. Per dimostrare che esiste ed è finito ${\displaystyle y=\lim _{n=\infty }y_{n}}$, basterà per la (6) provare che esiste ed è finita la somma ${\displaystyle y}$ della serie

(8)          ${\displaystyle y_{0}+(y_{1}-y_{0})+(y_{2}-y_{1})+.....+(y_{n}-y_{n-1})+.....}$

Ciò che è evidente, perchè questa serie è totalmente convergente per ${\displaystyle |x-x_{0}|\leq h_{1}}$, poichè da (5) segue che i valori assoluti dei suoi termini sono (a partire dal secondo) ordinatamente minori dei termini della serie

che è una progressione geometrica decrescente (si ricordi che ${\displaystyle H<1}$) a termini costanti.