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capitolo xiii — § 84

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Quindi sarà pure identicamente nulla per la derivata prima della $f[x,\varphi (x)]$ .

Sarà cioè per il teorema del § 83, $\alpha$ :

${\frac {df[x,\varphi (x)]}{dx}}=\left[{\frac {\partial f(x,y)}{\partial x}}+{\frac {\partial f(x,y)}{\partial y}}y'_{x}\right]=_{y=\varphi (x)}0$ .

Se ne deduce $y'_{x}=-{\frac {f'_{x}}{f'y}}$ (supposto $f'_{y}\not =0$ ).

Questa formola non è la (9) scritta più sopra: essa (se $f\not =0$ ) permette di esprimere $y'_{x}$ per mezzo delle $x,y$ , senza che vi sia bisogno di dare $y$ proprio sotto forma di funzione esplicita della $x$ .

Analogamente la $y''_{x}$ si calcolerebbe dalla (cfr. la (2) del § 83, $\alpha$ , pag. 277, ove si ponga $x=i$ )

${\frac {d^{2}f(x,\varphi (x))}{dx^{2}}}=f''_{xx}+2f''_{xy}y'+f''_{yy}y'^{2}+f'_{y}y''=0$

se le derivate seconde di $f$ sono finite e continue. (È facile verificare che in tal caso $y''$ esiste, e che quindi si può scrivere la formola precedente.

$\delta$ ) Sia p. es., da trovare l'equazione della tangente nel punto $(x_{0},y_{0})$ della ellisse o iperbole ${\frac {x^{2}}{a^{2}}}\pm {\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$ . Questa equazione sarà:

$(y-y_{0})-(y'_{x})(x-x_{0})=0$ ,

dove con $(y'_{z})_{0}$ indico il valore di $y'_{x}$ nel punto $(x_{0},y_{0})$ . Si voglia calcolare tale valore della derivata senza risolvere l'equazione della curva. Dalla (9) si ottiene tosto:

$(y'_{x})_{0}=-\left[{\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {x^{2}}{a^{2}}}\pm {\frac {y^{2}}{b^{2}}}-1\right):{\frac {\partial }{\partial y}}\left({\frac {x^{2}}{a_{2}}}\pm {\frac {y^{2}}{b^{2}}}-1\right)\right]_{0}=\mp {\frac {x_{0}}{y_{0}}}{\frac {b^{2}}{a^{2}}}$ .

Cosicchè l'equazione della tangente è:

$\pm (y-y_{0})+{\frac {x_{0}b^{2}}{y_{0}a^{2}}}(x-x_{0})=0$ , ossia:

${\frac {xx_{0}}{a^{2}}}\pm {\frac {yy_{0}}{b^{2}}}={\frac {x_{0}^{2}}{a^{2}}}\pm {\frac {y_{0}^{2}}{b^{2}}}=1$ ,

perchè il punto $(x_{0},y_{0})$ appartiene alla nostra curva.

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