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calcolo differenziale per le funzioni, ecc.

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[[Categoria:Pagine che usano RigaIntestazione|Lezioni di analisi matematica.pdf{{padleft:301|3|0]]In generale l'equazione della tangente alla curva $f(x,y)=0$ nel suo punto $(x_{0},y_{0})$ è nelle nostre ipotesi:

$(y-y_{o})-(y'_{x})_{0}(x-x_{0})-0$ ,

ossia per la (9)

$(y-y_{o})\left({\frac {\partial f}{\partial y}}\right)_{0}+(x-x_{0})\left({\frac {\partial f}{\partial x}}\right)_{0}=0$ , $\,\,\,\,$ (10)

dove con $\left({\frac {\partial f}{\partial x}}\right)_{0},\left({\frac {\partial f}{\partial y}}\right)_{0}$ indico i valori delle ${\frac {\partial f}{dx}},{\frac {\partial f}{\partial y}}$ nel punto $x=x_{0},y=y_{0}$ .

Così, p. es., per la conica $C$ di equazione

$a_{11}x^{2}+2a_{12}xy+a_{22}y^{2}+2a_{13}x+2a_{23}y+a_{33}=0$

l'equazione della tangente nel punto $(x_{0},y_{0})$ vale

$(a_{11}x_{0}+a_{12}y_{0}+a_{13})(x-x_{0})+(a_{21}x_{0}+a_{22}y_{0}+a_{23})(y-y_{0})=0$ .

Ricordando che $(x_{0},y_{0})$ appartiene a $C$ , e che perciò

$(a_{11}x_{0}+a_{21}x_{0}+a_{13})x+(a_{21}x_{0}+a_{22}x_{0}+a_{22}y_{0}+a_{23})y+$

$+(a_{31}x_{0}+a_{32}y_{0}+a_{33})=0$ .

Il primo membro evidentemente è una funzione simmetrica nelle $(x,y)$ ed $x_{0},y_{0})$ , cioè non muta scambiando $(x,y)$ con $(x_{0},y_{0})$ . È questa l'osservazione più semplice, da cui possa dedursi il principio delle polari reciproche.

§ 85. — Generalizzazioni.

$\alpha$ ) Si abbia ora l'equazione

$f(x,y,z)=0$ (1)

Supponiamo che esista una funzione continua $z=\varphi (x,y)$ che soddisfi identicamente alla (1), ossia che, sostituita in (1), sia orgine a una funzione nulla per tutti i valori delle $x,y$ , che noi consideriamo.

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