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Dal § 84, ${\displaystyle \beta }$, segue facilmente che esiste una tale funzione (e che noi la sappiamo anzi dare sotto forma di serie) se la (1) è soddisfatta per

{{centrato|${\displaystyle x=x_{0},y=y_{0},z=z_{0}(x_{0},y_{0},z_{0}={\text{cost.}})}$ e se in un intorno di tale punto le derivate prime di ${\displaystyle f}$ sono finite e continue, e ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial z}}}$ è differenze da zero.

La ${\displaystyle z=\varphi (x,y)}$ è una funzione definita da (1) in modo implicito; e noi ci proponiamo di calcolarne le derivate, senza scriverla sotto forma esplicita (senza risolvere la (1)).

Per trovare la derivata parziale ${\displaystyle {\frac {\partial z}{\partial x}}}$, bisogna considerare la ${\displaystyle y}$ come una costante, per cui la ${\displaystyle z}$ si potrà considerare come una funzione della sola ${\displaystyle x}$, e la ${\displaystyle f=0}$ come un'equazione tra le sole variabili ${\displaystyle x,z}$. Applicando i risultati precedenti si troverà quindi senz'altro ${\displaystyle {\frac {\partial z}{\partial x}}=-{\frac {f'_{x}}{f'_{z}}}}$.

Analogamente ${\displaystyle z'_{y}=-{\frac {f'}{f'_{z}}}}$.

${\displaystyle \beta }$) Si abbiano ora due equazioni in tre variabili

Supponiamo che ${\displaystyle f,F}$ abbiano derivate prime finite e continue, che le equazioni siano soddisfatte per {{centrato|${\displaystyle x=x_{0},y=y_{0},z=z_{0}}$, e che nel punto ${\displaystyle (x_{0},y_{0},z_{0})}$ sia

Almeno uno degli elementi di questo determinante sarà differente da zero. Se, p. es., ${\displaystyle f'_{y}\not =0}$ in ${\displaystyle (x_{0},y_{0},z_{0})}$, dalla ${\displaystyle f=0}$ potrò ottenere, risolvendo, ${\displaystyle y=\psi (x,z)}$, dove la ${\displaystyle \psi }$ è una funzione derivabile che diventa uguale a ${\displaystyle y_{0}}$ per ${\displaystyle x=x_{0},z=z_{0}}$. Sostituendo nella ${\displaystyle F=0}$ si trova:

                                             ${\displaystyle F[x,\psi (x,z),z]=0}$                                   (2)

La derivata del primo membro rispetto a ${\displaystyle z}$ è: