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Se invece p. es. ${\displaystyle a\not =0}$, allora, se ${\displaystyle \alpha ,\beta }$ sono le radici di ${\displaystyle az^{2}+2bx+c=0}$, il nostro trinomio vale identicamente ${\displaystyle a(h-\alpha k)(h-\beta k)}$. Se ${\displaystyle a\,c-b^{2}=0}$ allora ${\displaystyle \alpha =\beta }$ e quindi il trinomio vale il prodotto di ${\displaystyle a}$ per un quadrato perfetto, ha quindi il segno di ${\displaystyle a}$, a meno che ${\displaystyle h=\alpha \,k}$, nel qual caso il trinomio si annulla. Se ${\displaystyle ac-b^{2}<0}$. e quindi ${\displaystyle \alpha ,\beta }$ sono numeri reali distinti (p, es, ${\displaystyle \alpha <\beta }$), allora ${\displaystyle (h-\alpha k)(h-\beta k)}$ è positivo se ${\displaystyle {\frac {h}{k}}}$ è minore di ${\displaystyle \alpha }$, ed è negativo ${\displaystyle {\frac {h}{k}}}$ è compreso tra ${\displaystyle \alpha }$ e ${\displaystyle \beta }$. Il trinomio può dunque assumere un valore di segno arbitrario.

Infine se ${\displaystyle ac-b^{2}>0}$ [e perciò ${\displaystyle ac<b^{2}\geq \,0}$ e quindi ${\displaystyle a}$ e ${\displaystyle c}$ differenti da zero e dello stesso segno] le radici ${\displaystyle \alpha ,\beta }$ della ${\displaystyle az^{2}+2bz+c=0}$ sono numeri complessi coniugati ${\displaystyle \mu \pm i\nu }$ con ${\displaystyle \nu \not =0}$. Ora il nostro trinomio ${\displaystyle ah^{2}+2bhk+ck^{2}}$ è uguale identicamente al prodotto di ${\displaystyle a}$ per

che è sempre positivo (e che potrebbe essere nullo soltanto se ${\displaystyle \nu k=k-\lambda k=0}$: ossia, essendo ${\displaystyle \nu \not =0}$, soltanto se ${\displaystyle k=0,h=0}$: valori che abbiamo escluso). Quindi il nostro trinomio ha il segno di ${\displaystyle a}$. Ciò che si può verificare osservando anche che:

${\displaystyle \beta }$) Si suol dire che una funzione ${\displaystyle f(x,y)}$ di due variabili ha in un punto ${\displaystyle A}$ interno al campo ove ${\displaystyle f(x,y)}$ è definita, un massimo od un minimo (relativo) se esiste un intorno di ${\displaystyle A}$, nei punti del quale la funzione assume rispettivamente valori tutti non maggiori, o tutti non minori che nel punto ${\displaystyle A}$ (cfr. la defin. analoga di pag. 223). Se (${\displaystyle x_{0},y_{0}}$) sono le coordinate di ${\displaystyle A}$, dovrà cioè esistere un numer opositivo ${\displaystyle l}$, tale che per ${\displaystyle |h|<l,|k|<l}$ sia rispettivamente

  ${\displaystyle f(x_{0}+h,y_{0}+k)-f(x_{0},y_{0}=\leq \,o}$     (se ${\displaystyle A}$ è un massimo),

  ${\displaystyle f(x_{0}+h,y_{0}+k)-f(x_{0},y_{0})\geq \,0}$     (se ${\displaystyle A}$ è un minimo)

In tal caso la funzione ${\displaystyle f(x_{0},y)}$ che si ottiene ponendo ${\displaystyle x=x_{0}}$ ha un massimo od un minimo per ${\displaystyle y=y_{0}}$, e quindi, se possiede derivata prima ${\displaystyle f'_{y}}$ finita e determinata, questa derivata è nulla (§ 70, pag. 226) nel punto ${\displaystyle A}$. Risultato analogo si prova per ${\displaystyle f'_{y}}$.

Condizioni necessarie (ma non sufficienti) affinchè ${\displaystyle \mathrm {f(x,y)} }$ abbia nel punto ${\displaystyle \mathrm {A} }$ interno al campo ove la ${\displaystyle \mathrm {f} }$ ha derivate prime determinate e finite, abbia un massimo o un minimo è che ivi queste derivate ${\displaystyle \mathrm {f'x} }$ ed ${\displaystyle \mathrm {f'_{y}} }$ siano nulle.