[[Categoria:Pagine che usano RigaIntestazione|Lezioni di analisi matematica.pdf{{padleft:31|3|0]]siderare come radice ${\displaystyle n^{esima}}$ della ${\displaystyle x}$. Salvo però avvertenza contraria, col simbolo ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}}$ indicheremo sempre la radice positiva.

Se ${\displaystyle n}$ è dispari, ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}}$ ha sempre uno e uno solo significato.

Secondo tali convenzioni non si parlerà mai di una potenza ${\displaystyle x^{\frac {m}{n}}}$, quando ${\displaystyle x}$ è negativo, e dei due numeri interi ${\displaystyle m}$, ${\displaystyle n}$ il secondo è pari. Nè parleremo mai di una potenza ${\displaystyle x^{p}}$ se ${\displaystyle x}$ è negativo, ${\displaystyle p}$ è irrazionale.

Se ${\displaystyle n}$ è un numero negativo, poniamo ${\displaystyle x^{n}={\frac {1}{x^{-n}}}}$.

Vale anche nel caso attuale la formola

in tutti i casi in cui i simboli ${\displaystyle x^{p}}$, ${\displaystyle x^{q}}$ hanno un significato.

${\displaystyle \theta }$) Se tre numeri ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$ sono legati dalla ${\displaystyle a^{x}=y}$, noi diremo che ${\displaystyle x}$ è il logaritmo di ${\displaystyle y}$ in base ${\displaystyle a}$, e scriveremo ${\displaystyle x=\log _{a}{y}}$. La base ${\displaystyle a}$ si suppone positiva e quasi sempre maggiore di 1 (anzi assai spesso uguale a 10). Si dimostra:

1° Ogni numero positivo ${\displaystyle y\neq 0}$ ha un logaritmo e uno solo, che è uguale a zero per ${\displaystyle y=1}$, è uguale ad 1 per ${\displaystyle y=a}$, e che cresce (se ${\displaystyle a>1}$) al crescere di ${\displaystyle y}$. I numeri negativi non hanno logaritmo.

2° Se ${\displaystyle b\neq 1}$, allora ${\displaystyle \log _{a}{y}=\log _{a}{b}\log _{b}{y}}$.

3° ${\displaystyle {\text{Log}}_{a}{(y_{1}y_{2})}=\log _{a}{y_{1}}+\log _{a}{y_{2}}}$

${\displaystyle \log _{a}{\frac {y_{1}}{y_{2}}}=\log _{a}{y_{1}}-\log _{a}{y_{2}}}$;

${\displaystyle \log _{a}{(y_{1}^{m})}=m\log _{a}{y_{1}}}$.