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nella (2) la ${\displaystyle M}$ sia funzione della sola ${\displaystyle x}$, la ${\displaystyle N}$ funzione della sola ${\displaystyle y}$; in tal caso la (3) è evidentemente soddisfatta, perchè

Supponiamo ${\displaystyle M(x)}$ continua per ${\displaystyle x_{0}\leq \,x\leq \,b}$, ed ${\displaystyle N(y)}$ continua per ${\displaystyle y_{0}\leq \,y\leq \,\beta }$.

Sarà evidentemente:

Il primo addendo ${\displaystyle \int _{x_{0}}^{x}M8x)dx}$ è una funzione della sola ${\displaystyle x}$, la cui derivata rispetto ad ${\displaystyle x}$ vale ${\displaystyle M(x)}$ e la cui derivata rispetto ad ${\displaystyle y}$ è nulla. Il secondo addendo similmente è una funzione della sola ${\displaystyle y}$, la cui derivata rispetto ad ${\displaystyle x}$ è nulla, la cui derivata rispetto ad ${\displaystyle y}$ è ${\displaystyle N(y)}$. Il terzo addendo ${\displaystyle k}$ è una costante effettiva, le cui derivate sono entrambe nulle. Esso è il valore della ${\displaystyle f(x,y)}$ nel punto di ascissa ${\displaystyle x_{0}}$ e di ordinata ${\displaystyle y_{0}}$.

${\displaystyle \gamma }$) Passiamo ora al caso generale. Vogliamo calcolare ${\displaystyle f(x,y)}$ nel punto ${\displaystyle (x,y)}$ supponendo che ${\displaystyle M,N<math>ed<math>M'_{y}=N'_{x}}$ siano finite e continue nei punti la cui ascissa è compresa tra ${\displaystyle \mathrm {x_{0}} }$ ed ${\displaystyle \mathrm {x} }$, e la cui ordinata è compresa tra ${\displaystyle \mathrm {y_{0}} }$ ed ${\displaystyle \mathrm {y} }$. Ciò naturalmente limita il campo ove facciamo variare il punto ${\displaystyle (x,y)}$ cioè il campo ${\displaystyle \mathrm {R} }$, ove dimostriamo il nostro teorema. Supporremo, p. es., senz'altro ${\displaystyle R}$ essere un rettangolo coi lati paralleli agli assi, e dento di esso supporremo cadere entrambi i punti ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$ ed ${\displaystyle (x,y)}$.

Poichè ${\displaystyle f'_{y}=N}$, sarà

                                        ${\displaystyle f=\int _{y_{0}}^{y}N(x,y)dy+\varphi }$,                     (4)

dove nell'eseguire l'integrazione la ${\displaystyle x}$ si considera come costante, e la ${\displaystyle \varphi }$ (la costante additiva) potrà quindi essere funzione della sola ${\displaystyle x}$ (com'è evidente, perchè ${\displaystyle \varphi }$ deve essere la funzione a cui si riduce la ${\displaystyle f}$ per ${\displaystyle y=y_{0}}$, cioè la ${\displaystyle f(x,y_{0})}$).

Dovremo poi determinare la ${\displaystyle \varphi =\varphi (x)}$ in guisa che la derivata rispetto ad ${\displaystyle x}$ della ${\displaystyle f(x,y)}$ definita da (4) valga ${\displaystyle M}$; che cioè