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ed è perciò uguale alla differenza dei valori che la ${\displaystyle \mathrm {f(x,y)} }$ assume negli estremi ${\displaystyle \mathrm {B,A} }$ dell'arco ${\displaystyle \mathrm {\Gamma } }$ di curva considerato.

Vale a dire tale integrale ha in tale ipotesi un valore che dipende soltanto dagli estremi ${\displaystyle \mathrm {A,B} }$ del nostro arco, e non varia quindi, se cambiano l'arco (1) che congiunge i punti ${\displaystyle A,B}$, e gli sostituiamo p. es., come al § 90, la spezzata ${\displaystyle ACB}$. Viceversa si può dimostrare (cfr. anche il penultimo cap. del libro):

Se questo integrale non dipende dalla particolare scelta dell'arco ${\displaystyle \mathrm {AB} }$, ma soltanto dai suoi estremi ${\displaystyle \mathrm {A,B} }$, esso definisce proprio il valore che nel punto ${\displaystyle \mathrm {B} }$ assume la funzione ${\displaystyle \mathrm {f(x,y)} }$ che è nulla nel punto ${\displaystyle \mathrm {A} }$, e il cui differenziale vale ${\displaystyle \mathrm {Mdx-Ndy} }$.

Infatti tenuto fisso il punto ${\displaystyle A}$, e considerato il punto ${\displaystyle B}$ come variabile, tale integrale sarà una funzione ${\displaystyle f}$ delle coordinate ${\displaystyle (x,y)}$ di ${\displaystyle B}$. Vogliamo provare che ${\displaystyle f'_{x}=M}$ e che ${\displaystyle f'_{y}=N}$. Proviamo p. es. che ${\displaystyle f'_{x}=M}$. Sia ${\displaystyle B'}$ il punto ${\displaystyle (x+h,y)}$. Sarà

                    ${\displaystyle =\lim _{h=0}{\frac {\int _{A}^{B'}(Mdx+Ndy)-\int _{A}^{B}(Mdx+Ndy)}{h}}}$.          (3)

Poichè tali integrali non dipendono dalla scelta delle linee ${\displaystyle AB,AB'}$, potremo supporre che la linea ${\displaystyle AB'}$ risulti dalla linea ${\displaystyle AB}$ e dal segmento ${\displaystyle BB'}$, lungo cui ${\displaystyle dy=0}$.

La (3) diventerà

Ricordando che per il teorema della media

          ${\displaystyle \int _{x}^{x+h}M(x,y)dx=hM(x+\theta h,y)}$,           (${\displaystyle 0<\theta <1}$)

e che ${\displaystyle M}$ è continua, avremo:

          ${\displaystyle f'_{x}=\lim _{x=0}M(x+\theta h,y)=M(x,y)}$.                    c.d.d.

Cosicchè il problema di riconoscere quando esiste una funzione ${\displaystyle f(x,y)}$ che abbia un dato differenziale ${\displaystyle Mdx+Ndy}$, e quello di calcolare tale funzione, si riducono al problema di riconoscere quando l'integrale curvilineo di ${\displaystyle Mdx+Ndy}$ dipende