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${\displaystyle \beta }$) Consideriamo ora il caso particolare (che basta ai nostri studii elementari) di una funzione ${\displaystyle \varphi (x)}$ a derivata ${\displaystyle F8x)}$ continua. Il teorema della media dice che

                              ${\displaystyle \mathrm {{\frac {S(a,b)}{b-a}}={\frac {\varphi (b)-\varphi (a)}{b-a}}=F(c)} }$,               (1)

ove ${\displaystyle \mathrm {c} }$ è un punto opportunamente scelto interno all'intervallo ${\displaystyle \mathrm {(a,b)} }$.

Se dunque ${\displaystyle a,b}$ tendono ad uno stesso punto ${\displaystyle \alpha }$, sarà anche ${\displaystyle \lim c=\alpha }$, ed, essendo ${\displaystyle F(x)}$ continua, anche ${\displaystyle \lim F(c)=F(\alpha )}$. Cioè:

Se l'intervallo ${\displaystyle \mathrm {(a,b)} }$ tende ad un unico punto ${\displaystyle \alpha }$, allora il limite di

vale ${\displaystyle \mathrm {F(x)} }$. Perciò:

Se ${\displaystyle \mathrm {F(x)=\lim _{a,b=x}{\frac {S(a,b)}{b-a}}} }$ è funzione continua, noi la chiameremo derivata della funzione additiva ${\displaystyle \mathrm {S(a,b)} }$ rispetto all'intervallo ${\displaystyle \mathrm {(a,b)} }$. Tale derivata è funzione della sola variabile ${\displaystyle \mathrm {x} }$, e non è più funzione di un intervallo. Evidentemente poi

Cioè una funzione additiva ${\displaystyle \mathrm {S(a,b)} }$ conderivata ${\displaystyle \mathrm {F(x)} }$ (continua) coincide con l'integrale definito ${\displaystyle \mathrm {\int _{a}^{b}F(x)dx} }$ di tale derivata.

Il teorema della media, che abbiamo scritto nella forma (1), si può anche scrivere così:

Se ne deduce:

Siano ${\displaystyle \mathrm {M} }$ ed ${\displaystyle \mathrm {m} }$ il massimo ed il minimo valore nell'intervallo ${\displaystyle \mathrm {(a,b)} }$ della derivata (continua) ${\displaystyle \mathrm {F(x)} }$ della funzione ${\displaystyle \mathrm {S(a,b)} }$ additiva d'intervallo; allora ${\displaystyle \mathrm {S(a,b)} }$ è compreso tra i prodotti di ${\displaystyle \mathrm {(b-a)} }$ per ${\displaystyle \mathrm {M} }$ o per ${\displaystyle \mathrm {m} }$.

Viceversa, se il valore della funzione additiva ${\displaystyle \mathrm {S(a,b)} }$ è compreso tra ${\displaystyle \mathrm {(b-a)M} }$ e ${\displaystyle \mathrm {(b-a)m} }$, dove ${\displaystyle \mathrm {M,m} }$ sono il massimo e il minimo della funzione continua ${\displaystyle \mathrm {F(x)} }$, allora ${\displaystyle \mathrm {F(x)} }$ è la derivata di ${\displaystyle \mathrm {S(a,b)} }$.