[[Categoria:Pagine che usano RigaIntestazione|Lezioni di analisi matematica.pdf{{padleft:328|3|0]]

da ${\displaystyle N}$, quando esso fosse in tale intervallo dotato sempre della velocità minima ${\displaystyle m}$ o massima ${\displaystyle M}$, che raggiunge in tale intervallo, ossia è compreso tra ${\displaystyle (b-a)m}$ e ${\displaystyle (b-a)M}$.

${\displaystyle \gamma }$) Se ${\displaystyle F(x)}$ indica il valore della froza agente su un punto ${\displaystyle N}$ mobile su una retta ${\displaystyle r}$, quando ${\displaystyle N}$ dista ${\displaystyle x}$ dall'origine, e se ${\displaystyle F(x)}$ è diretto secondo ${\displaystyle r}$, il lavoro corrispondente al passaggio di ${\displaystyle N}$ dal punto ${\displaystyle x=a}$ al punto ${\displaystyle x=b}$ è l'integrale definito di ${\displaystyle F(x)}$ esteso all'intervallo ${\displaystyle (a,b)}$. Infatti esso gode delle due seguenti proprietà:

1) Se un intervallo ${\displaystyle \alpha }$ è somma di due intervallini ${\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2}}$, il lavoro corrispondente all'intervallo ${\displaystyle \alpha }$ è somma dei lavoro corrispondenti agli intervalli ${\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2}}$, cioè tale lavoro è funzione additiva degli intervalli ${\displaystyle \alpha }$.

2) Tale lavoro è compreso tra i valori ${\displaystyle (b-a)m}$ e ${\displaystyle (b-a)M}$ corrispondenti al caso che la forza ${\displaystyle F(x)}$ nell'intervallo ${\displaystyle (a,b)}$ conservasse costantemente il valore minimo ${\displaystyle m}$ o massimi ${\displaystyle M}$m che raggiunge in tale intervallo.

${\displaystyle \delta }$) Indichiamo con ${\displaystyle \rho ,\theta }$ coordinate polari; si voglia calcolare l'area ${\displaystyle A}$ della figura racchiusa tra i raggi ${\displaystyle \theta =a,\theta =b(\leq \,a<b\leq \,2\pi )}$ e una curva ${\displaystyle \rho =(F\theta )}$. È evidente che ${\displaystyle A}$ è funzione additiva dell'intervallo ${\displaystyle (a,b)}$. Si osservi che, se ${\displaystyle M,m}$ sono il massimo e il minimo di ${\displaystyle F(\theta )}$ nell'intervallo ${\displaystyle (a,b)}$, la nostra figura comprende all'interno il settore circolare che ha per raggio ${\displaystyle m}$, che è limitato dalle semirette ${\displaystyle \theta =a}$ e ${\displaystyle \theta =b}$, e che quindi ha per area ${\displaystyle \pi m^{2}{\frac {(b-a)}{2\pi }}={\frac {1}{2}}(b-a)m^{2}}$. E la nostra figura è compresa nel settore limitato dalle stesse semirette, che per raggio ${\displaystyle M}$, ed ha quindi per area ${\displaystyle {\frac {1}{2}}(b-a)m^{2}}$.

L'area cercata è dunque compresa tra ${\displaystyle {\frac {1}{2}}m^{\Delta }\theta }$ e ${\displaystyle {\frac {1}{2}}M^{\Delta }\theta }$, quando si indichi con ${\displaystyle \Delta \theta =b-a}$ l'incremento ricevuto da ${\displaystyle \theta }$ nell'intervallo (a, b). E se ne deduce facilmente che l'area ${\displaystyle A}$ in discorso ha per derivata ${\displaystyle {\frac {1}{2}}\rho ^{2}}$, ossia che essa è data dalla:

Il lettore dimostri direttamente che ${\displaystyle {\frac {dA}{d\theta }}={\frac {1}{2}}[F(\theta )]^{2}}$.