[[Categoria:Pagine che usano RigaIntestazione|Lezioni di analisi matematica.pdf{{padleft:329|3|0]]Si può dedurne poi, p. es., che: se un punto ${\displaystyle \mathrm {N} }$ si muove in n piano in modo che il raggio ${\displaystyle \mathrm {ON} }$ descriva un'area ${\displaystyle \mathrm {A} }$ proporzionale al tempo ${\displaystyle \mathrm {t} }$ impiegato, allora la forza agente su ${\displaystyle \mathrm {n} }$ è diretta verso ${\displaystyle \mathrm {O} }$. (Teorena importante, p. es., per dedurre le leggi di Keplero e la legge di gravitazione universale di Newton).

donde, derivando:

che prova il nostro teorema, perchè (come insegna la Meccanica) le componenti della forza agente su ${\displaystyle N}$ sono proporzionali alle}}

${\displaystyle \alpha }$) Abbiamo dunque riconosciuto l'identità del concetto di funzione ${\displaystyle \mathrm {S(a,b)} }$ additiva avente per derivata la funzione continua ${\displaystyle \mathrm {F(x)} }$ e di ${\displaystyle \mathrm {\int _{a}^{b}F(x)dx} }$.

Cosicchè se, p. es., ${\displaystyle F(x)\geq \,0}$, ed ${\displaystyle a>b}$, la ${\displaystyle S(a,b)}$ si può pensare identiva all'area del rettangoloide limitato dall'arco di curva ${\displaystyle y=F(x)}$ per ${\displaystyle a\leq \,x\leq \,b}$, dalle rette che ne proiettano gli estremi sull'asse delle ${\displaystyle x}$, e dallo stesso asse delle ${\displaystyle x}$.

Ci serviremo tosto di questo fatto per illustrare geometricamente alcune considerazioni.

Diviso l'intervallo ${\displaystyle (a,b)}$ in ${\displaystyle n}$ intervallini parziali ${\displaystyle \delta _{1},\delta _{2},...\delta _{n}}$, allora il valore ${\displaystyle S(a,b)}$ della nostra funzione additiva vale la somma dei valori ${\displaystyle S}$ corrispondenti ai nostri intervallini ${\displaystyle \delta _{1}}$: ciascuno dei quali è, per il teorema della media, compreso tra ${\displaystyle \delta _{i}M_{i}}$ e ${\displaystyle \delta _{i}m_{i}}$, se ${\displaystyle M_{i}m_{i}}$ sono il massimo e il minimo di ${\displaystyle F(x)}$ in ${\displaystyle \delta _{i}}$, e vale ${\displaystyle \delta _{1}{\bar {F}}_{1}}$, ove ${\displaystyle {\bar {F}}_{1}}$ è un conveniente valore della ${\displaystyle F(x)}$ in ${\displaystyle \delta _{i}}$. Perciò:

La ${\displaystyle S(a,b)=\int _{a}^{b}F(x)dx}$ è compresa tra ${\displaystyle \sum M_{i}\delta _{i}=M_{1}+\delta _{1}+M_{2}\delta _{2}+.....+M_{n}\delta _{n}}$ e ${\displaystyle \sum m_{i}\delta _{i}}$. Esistono dunque dei convenienti numeri ${\displaystyle {\bar {F}}_{i}}$ compresi tra ${\displaystyle m_{i}}$ ed ${\displaystyle M_{i}}$ tali che ${\displaystyle \int _{a}^{b}F(x)dx=\sum {\bar {F}}_{1}\delta _{1}}$.