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Perciò: La ${\displaystyle \mathrm {S(a,b)} }$ è compresa tra il limite inferiore delle ${\displaystyle \Sigma M\delta }$, e il limite superiore delle ${\displaystyle \Sigma m\delta }$.

Fig. 33.

${\displaystyle \beta }$) Sarà bene illustrare questo procedimento per le funzioni ${\displaystyle F(x)\geq \,0}$ ricorrendo all'interpretazione citata di ${\displaystyle \int _{a}^{b}F(x)dx}$ come area della figura piana Fig. 34.(rettangoloide) compresa tra l'asse delle ${\displaystyle x}$, la curva ${\displaystyle y=F(x)}$, e le parallele dell'asse delle ${\displaystyle y}$, i cui punti hanno per ascissa rispettivamente ${\displaystyle a}$ oppure ${\displaystyle b}$.

Nella fig. 33 sono disegnati per l'intervallino parziale ${\displaystyle delta_{1}}$ il minimo ${\displaystyle m_{1}}$ e il massimo ${\displaystyle M_{1}}$ di ${\displaystyle F(x)}$.

Nella successiva fig. 34 (in cui per chiarezza si è disegnata una curva ${\displaystyle y=F(x)}$ di più semplice andamento) è reso ben evidente che un prodotto ${\displaystyle \delta _{i}m_{i}}$ è l'area di un rettangolo avente per base ${\displaystyle \delta _{i}}$ e tutto interno alla nosra figura (i rettangoli ${\displaystyle APA'_{1}A',A_{1}P_{1}A'_{2}A'_{1}}$, ecc); cosicchè ${\displaystyle \Sigma m_{i}\delta _{i}}$ misura l'area di un poligono che è tutto contenuto nel nostro rettangoloide ed ha perciò un'area non maggiore di quella del nostro rettangoloide.