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in ${\displaystyle \delta }$, cosicchè ${\displaystyle m\geq F\geq M}$, allora, poichè ${\displaystyle \int _{a}^{b}F(x)dx}$ e ${\displaystyle \Sigma F\delta }$ sono entrambi compresi tra ${\displaystyle \Sigma m\delta }$ e ${\displaystyle \Sigma M\delta }$, avremo che:

Dato che un numero ${\displaystyle \epsilon }$ piccolo a piacere, posso scegliere i ${\displaystyle \delta }$ così piccoli che

Cosicchè con facile estensione della definizione di limite, possiamo enunciare il seguente teorema:

Lo ${\displaystyle \mathrm {\int _{a}^{b}F(x)dx} }$ non solo è il numero che supera le classi contigue descritte dalle ${\displaystyle \mathrm {\Sigma m\delta ,\Sigma M\delta } }$, ma è anche il limite di ${\displaystyle {\Sigma F\delta }}$ quando tutti i ${\displaystyle \delta }$ tendono a zero, se ${\displaystyle \mathrm {F} }$ è un qualsiasi numero compreso tra ${\displaystyle \mathrm {M} }$ ed ${\displaystyle \mathrm {m} }$ (od eventualmente uguale anche ad ${\displaystyle M}$ o a ${\displaystyle m}$).

Se noi confrontiamo quest'ultimo teorema ${\displaystyle \int _{a}^{b}F(x)dx=\lim _{\delta =0}\Sigma F\delta }$ col teorema dato in (${\displaystyle \alpha }$), pag. 315, cioè ${\displaystyle \int _{a}^{b}F(x)dx=\Sigma {\bar {F}}\delta }$, vediamo che tanto ${\displaystyle F}$ che ${\displaystyle {\bar {F}}}$ rappresentano una quantità compresa tra ${\displaystyle m}$ ed ${\displaystyle M}$. Ma mentre ${\displaystyle F}$ è una quantità arbitrariamente scelta tra ${\displaystyle m}$ e ${\displaystyle M}$, la ${\displaystyle {\bar {F}}}$ è un numero convenientemente scelto tra ${\displaystyle m}$ ed ${\displaystyle M}$. Cosicchè nella

si potrebbe quasi dire che il passaggio al limite (quando tutti i ${\displaystyle \delta }$ tendono a zero) corregge l'errore commesso scegliendo i valori intermedi ${\displaystyle F_{i}}$ in modo arbitrario tra ${\displaystyle m_{i}}$ ed ${\displaystyle M_{i}}$.

${\displaystyle \gamma }$) Un caso particolare della nostra formola si ottiene nel modo seguente:

Si divida l'intervallo ${\displaystyle (a,b)}$ in ${\displaystyle n}$ intervallini parziali ${\displaystyle \delta _{i}}$, i cui estremi ${\displaystyle a:1=a,a_{2},a_{3},.....,a_{n+1}=b}$ formino una progressione aritmetica; tutti questi intervallini saranno uguali tra di loro ed avranno ${\displaystyle {\frac {b-a}{n}}}$ come lunghezza comune.

Se come ${\displaystyle F_{r}}$ scegliamo il valore di ${\displaystyle F(x)}$, p. es., nell'estremo destro ${\displaystyle a+r{\frac {b-a}{n}}}$ del corrispondente intervallo ${\displaystyle \delta _{r}}$, otterremo che:

(I)     ${\displaystyle \int _{a}^{b}F(X)dx=\lim _{n=\infty }{\frac {b-a}{n}}\left\{F\left(a+{\frac {b-a}{n}}\right)+\right.}$