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il rettangoloide, di cui vogliamo calcolare l'area. Dividiamo la base del rettangoloide in ${\displaystyle 2\,n}$ parti uguali; indichiamo i punti di divisione con ${\displaystyle a_{1}=a,a_{2},a_{3},.....,a_{n+1}=b}$ e conduciamo per tali punti le ordinate ${\displaystyle y_{1},y_{2},y_{3},.....y_{2n+1}}$. Se traccio i segmenti

{{centrato|${\displaystyle A_{1}A_{2},A_{2},A_{3},.....,A_{2n}A_{2n+1}}$, ottengo tanti trapezi ${\displaystyle A_{1}A_{2}a_{1}a_{2},A_{2}A_{3}a_{2}a_{3},.....,}$ la cui somma ci dà un poligono tutto interno al rettangoloide ${\displaystyle A_{1}A_{2n+1}a_{1}a_{2n+1}}$; quindi la somma delle aree di detti trapezi ci darà un valore approssimato per difetto dell'area del rettangoloide e quindi un valore approssimato per difetto di ${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)dx}$.

Ora, se con ${\displaystyle B}$ indico il segmento ${\displaystyle ab=a_{1}a_{2n+1}}$ sarà ${\displaystyle {\frac {B}{2\,n}}}$ il valore di ognuna delle ${\displaystyle 2\,n}$ parti uguali in cui esso è stato diviso, ossia l'altezza di ognuno dei trapezi ottenuti; le basi di questi essendo poi rispettivamente le ordinate ${\displaystyle y_{1}y_{2},.....,y_{2n+1}}$, sarà:

E l'area totale del poligono interno al rettangoloide sarà la somma delle aree precedenti

Osservando che tutte le ordinate ${\displaystyle y}$ compaiono ciascuna due volte nella formula precedente tranne ${\displaystyle y_{1}}$ e ${\displaystyle y_{2n+1}}$, potremo anche scrivere:

               ${\displaystyle {\frac {B}{2\,n}}\left\{{\frac {y_{1}+y_{2n+1}}{2}}+y_{2}+y_{3}+.....y_{2n}\right\}}$          (1)

come un valore approssimato per difetto di ${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)}$.

Cerchiamo analogamente un valore approssimato per eccesso dell'area della nostra figura; cerchiamo cioè un poligono che

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