[[Categoria:Pagine che usano RigaIntestazione|Lezioni di analisi matematica.pdf{{padleft:345|3|0]]

base ${\displaystyle CP}$ e per altezza la differenza ${\displaystyle M_{i}-m_{i}}$ tra il massimo e il minimo di ${\displaystyle F(x)}$ in ${\displaystyle \delta _{i}}$; ed ha quindi un'area ${\displaystyle a_{i}}$ inferiore a ${\displaystyle (M_{i}-m_{i})\delta _{i}}$. Il rettangolo che ha per base ${\displaystyle \delta _{i}}$ e per lato opposto ${\displaystyle CP}$ ha un'area ${\displaystyle A_{i}}$ non inferiore a ${\displaystyle m\delta _{1}}$ Il rapporto ${\displaystyle {\frac {a_{i}}{A_{i}}}}$ dell'area di uno dei nostri triangolini al corrispondente rettangolo non supera quindi ${\displaystyle {\frac {M_{i}-m_{i}}{m}}}$.

Ora, scegliendo i ${\displaystyle \delta _{i}}$ abbastanza piccoli, noi sappiamo (§ 40, pag. 135, e § 63, pag. 197) che si possono rendere tutte le ${\displaystyle M_{i}-m_{i}}$ e perciò anche tutti questi rapporti minori di un numero ${\displaystyle \epsilon }$ predissato ad arbitrio. Dunque non solo le ${\displaystyle \mathrm {a_{i}} }$ sno infinitesimi di ordine superiore rispetto alle ${\displaystyle \mathrm {A_{i}} }$, ma anzi si possono rendere i rapporti ${\displaystyle \mathrm {\frac {a_{i}}{A_{i}}} }$ contemporaneamente minori di un numero prefissato ad arbitrio.

È facile dimostrare in tale ipotesi che

Infatti, scelti i ${\displaystyle \delta _{i}}$ così piccoli che ${\displaystyle \left|{\frac {a_{i}}{A_{i}}}\right|<\epsilon }$, sarà anche ${\displaystyle \left|{\frac {\Sigma a_{i}}{\Sigma A_{i}}}\right|<\epsilon }$; ${\displaystyle |\Sigma a_{i}|<\epsilon |\Sigma A_{i}|}$; ${\displaystyle |\Sigma (A_{i}+a_{i}=-\Sigma A_{i}|<\epsilon |\Sigma A_{i}|}$; e quindi, supposto come nel caso nostro, che le ${\displaystyle \mathrm {\Sigma A_{1}} }$ siano numeri limitati, inferiori cioè ad una costante finita, ${\displaystyle \lim[\Sigma (a_{i}+a_{i})-\Sigma A_{i}]=0}$ come dovevasi dimostrare.

È trovato così un nuovo caso (§ 52, pag. 172), in cui è lecito trascurare gli infinitesimi di ordine superiore.