[[Categoria:Pagine che usano RigaIntestazione|Lezioni di analisi matematica.pdf{{padleft:348|3|0]]una funzione additiva di ${\displaystyle \tau }$. Notiamo che ${\displaystyle {\frac {X(\tau )}{\tau }}=x_{g}}$ è compresa tra il massimo e il minimo valore che ha l'ascissa ${\displaystyle x}$ di un punto ${\displaystyle \tau }$. Quindi, se tutti i punti di ${\displaystyle \tau }$ tendono ad uno stesso punto di ${\displaystyle A}$ di ${\displaystyle \tau }$, il ${\displaystyle \lim {\frac {X(\tau )}{\tau }}}$ vale precisamente l'ascissa ${\displaystyle x}$ del punto ${\displaystyle A}$. Cioè ${\displaystyle x}$ è la derivata della nostra funzione ${\displaystyle X(\tau )}$.

Es. III. Sia ${\displaystyle I}$ una parete piana verticale di una vasca piena di acqua (un bacino di carenaggio, p. es.). La pressione che tale acqua esercita su un pezzo ${\displaystyle \tau }$ di ${\displaystyle I}$ è quella funzione additiva di ${\displaystyle \tau }$, la cui derivata in un punto ${\displaystyle A}$ di ${\displaystyle I}$ cale la distanza da ${\displaystyle A}$ al pelo libero dell'acqua stessa.

Es IV, Sia ${\displaystyle I}$ una curva del piano ${\displaystyle xy}$; supponiamo che i punti di ${\displaystyle I}$ siano in corrispondenza biunivoca con la loro proiezione sull'asse delle ${\displaystyle x}$. Assumiamo come misura ${\displaystyle \tau }$ di un pezzo ${\displaystyle \tau }$ di ${\displaystyle I}$ la lunghezza della sua proiezione sull'asse delle ${\displaystyle x}$. Se ${\displaystyle M(x,y)}$ è una funzione continua delle ${\displaystyle x,y}$ in tutta una regione contenente ${\displaystyle I}$ all'interno, allora lo ${\displaystyle \int M(x,y)dx}$ esteso a una pezzo ${\displaystyle \tau }$ di ${\displaystyle I}$ è quella funzione additiva di ${\displaystyle \tau }$, che nei punti di ${\displaystyle I}$ ha ${\displaystyle M(x,y)}$ per derivata.

Oss. È perfettamente lecito definire nel modo qui enunciato la misura ${\displaystyle \tau }$ di un pezzo ${\displaystyle \tau }$ di ${\displaystyle I}$, perchè vengono rispettate le proprietà essenziali di una misura (che un pezzo ${\displaystyle \tau }$ di ${\displaystyle I}$ somma di due pezzi ${\displaystyle \tau ',\tau ''}$ ha per misura la somma delle misure di ${\displaystyle \tau ',\tau ''}$, ecc.). (Cfr. la precedente nota a piè di pagina).

${\displaystyle \alpha }$) Per queste derivate si possono estendere molti teoremi di calcolo. Bisognerebbe, per restare nel campo più generale, limitare un po' il tipo di campi ${\displaystyle \tau }$, per i quali si costruiscano i rapporti ${\displaystyle {\frac {S(\tau )}{\tau }}}$, che compaiono nella definizione di derivata. Questa generalità è però inutile a noi che supponiamo la derivata ${\displaystyle \mathrm {F} }$ continua. Noi estenderemo il teorema della media. Se ${\displaystyle \mathrm {S(\tau )} }$ possiede derivata ${\displaystyle \mathrm {F} }$ continua in ogni punto di ${\displaystyle \mathrm {I} }$ (inclusi i punti del contorno di ${\displaystyle I}$), allora ${\displaystyle \mathrm {\frac {S(\tau )}{\tau }} }$ è compreso tra