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${\displaystyle \gamma }$) Altro tipo di equazione differenziale ordinaria del primo ordine, che si può ridurre al tipo precedente, è quello din cui la ${\displaystyle M(x,y)}$ e a ${\displaystyle N(x,y)}$ che figurano nella (4) siano funzioni omogenee dello stesso grado ${\displaystyle n}$.

Ricordo che una funzione ${\displaystyle x,y}$ si dice funzione omogenea di grado zmath>n</math> se è uguale al prodotto di ${\displaystyle x^{n}}$ per una funzione di ${\displaystyle {\frac {y}{x}}}$.

Così, ad esempio: ${\displaystyle x^{2}+y^{2}+xy}$ è una funzione omogenea di 2 grado, perchè è uguale a

È funzione omogena di grado ${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$ la

poichè:

Se nella (4):

la ${\displaystyle M}$ e ${\displaystyle N}$ sono funzioni omogenee dello stesso grado ${\displaystyle n}$, è facile indicare un metodo generale di integrazione. Infatti introduciamo la nuova variabile ${\displaystyle z}$ in luogo di ${\displaystyle y}$, ponendo:

                                                  ${\displaystyle {\frac {y}{x}}=z}$                    (8)

Dividendo la (4) per ${\displaystyle x^{n}}$, i coefficienti di ${\displaystyle dx}$ e ${\displaystyle dy}$ risultano funzioni del solo rapporto ${\displaystyle {\frac {y}{x}}}$; cioè si ha un'equazione del tipo:

                                        ${\displaystyle \varphi \left({\frac {y}{x}}\right)dx+\psi \left({\frac {y}{x}}\right)dy=0}$.                    (9)

Intanto da:

differenziando si ottiene:

                                        ${\displaystyle dy=x\,dz+zdx}$                              (10).