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Spstituendo in (9), si ottiene

donde, raccogliendo a fattori comuni ${\displaystyle dx}$ e ${\displaystyle dz}$, si ha:

che, separando le variabili, diventa:

                                   ${\displaystyle {\frac {dx}{x}}+{\frac {\psi (z)dz}{\varphi (z)+z\psi (z)}}=0}$,                    (11)

che è a variabili separate, e noi sappiamo quindi integrare.

Sia, p. es., data l'equazione:

Posto ${\displaystyle {\frac {y}{x}}=z}$, essa diventa:

ossia:

Integrando si ottiene ${\displaystyle \log |x|+{\text{arctg}}z=C(C={\text{cost.}})}$. Donde ${\displaystyle z={\frac {y}{x}}={\text{tg}}[C-\log |x|]}$ e quindi ${\displaystyle y=x{\text{tg}}[C-\log |x|]}$.

${\displaystyle \delta }$) Noi abbiamo visto che la

                                        ${\displaystyle Mdx+Ndy=0}$                    (12)

è risolubile mediante quadrature, se il primo membro è un differenziale esatto, e in particolare se le variabili sono separate (o si possono con qualche artificio separare).

Se il primo membro di (12) non è un differenziale esatto, ci si può chiedere se è possibile trovare una funzione ${\displaystyle \rho (x,y)}$ delle ${\displaystyle x,y}$, che, moltiplicata per esso, lo renda un differenziale esatto. Una tale funzione ${\displaystyle \rho }$ si dice essere un moltiplicatore di ${\displaystyle Mdx+Ndy}$.

È chiaro che, se in qualche modo si può giungere a trovare un tale moltiplicatore, allora la risoluzione, o, come si suol dire, l'integrazione della (12) è ricondotta a calcolare degli integrali indefiniti, cioè è ridotta alle quadrature.