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La qualità di calore ${\displaystyle Q}$ data ad una massa di gas ne fa variare o la pressione ${\displaystyle p}$ o il volume ${\displaystyle v}$, o entrambe le ${\displaystyle p,v}$. Se noi, p. es., teniamo${\displaystyle v}$ costante, varierà la pressione ${\displaystyle p}$; il rapporto ${\displaystyle {\frac {dQ}{dt}}}$, ove ${\displaystyle dQ}$ è la quantità di calore necessaria per far aumentare la temperatura ${\displaystyle t}$ di ${\displaystyle dt}$, + una costante ${\displaystyle c}$; il cosidetto calore specifico a volume costante. Sarà dunque ${\displaystyle dQ=ctd}$; l'incremento ${\displaystyle dt}$ di temperatura è dato da ${\displaystyle {\frac {\partial t}{\partial p}}dp}$; cosicchè infine:

Così pure, se con ${\displaystyle C}$ indichiamo il calore specifico a pressione costante, sarà:

l'incremento di calore che si deve dare, affinchè il volume del gas (tenuto a pressione costante) aumenti di ${\displaystyle dv}$.

Cosicchè complessivamente

è la quantità di calore necessaria per aumentare ${\displaystyle p,v}$ rispettivamente di ${\displaystyle dp,dv}$.

Ora noi ci chiediamo: Può ${\displaystyle Q}$ essere una funzione di ${\displaystyle p,v}$: ossia può una massa di gas, ritornando alle stesse condizioni (di temperatura e di pressione) possedere in ogni caso la stessa quantità di calore) Ciò che sembra la conseguenza più semplice dell'antica ipotesi dell'indistruttibilità del calore.

Se ci fosse, l'espressione sopra trovata per ${\displaystyle dQ}$ sarebbe un differenziale esatto. Di avrebbe cioè:

ciò che non è, perchè ${\displaystyle C\not =c}$, e ${\displaystyle t={\frac {1}{R}}pv}$, dove ${\displaystyle R}$ è una costante.

Se ${\displaystyle c{\frac {\partial t}{\partial p}}dp+C{\frac {dt}{dv}}}$ non è esatto, noi possiamo cercare di renderlo esatto moltiplicandolo per un moltiplicatore ${\displaystyle \rho }$.