Esempi.

${\displaystyle y'=y'+xy''+\varphi '(y')y''}$ ossia ${\displaystyle y''[x+\varphi '(y')]=0}$.

L'eliminazione della ${\displaystyle t}$ tra queste due equazioni darà una nuova soluzione della nostra equazione, se da esse si deduce ${\displaystyle y'={\frac {dy}{dx}}=t}$; perchè allora la 2^a si riduce proprio all'equazione data. E infatti se ne deduce (se ${\displaystyle \varphi ''(t)\not =0}$)

Se non eliminiamo la ${\displaystyle t}$, le precedenti formole deriniscono la soluzione in forma parametrica; basta infatti far variare ${\displaystyle t}$ per dedurne le coppie di valori compatibili delle ${\displaystyle x,y}$.

Queste due equazioni si possono considerare come le equazioni parametriche di una curva ${\displaystyle \Gamma }$.

La retta tangente a ${\displaystyle \Gamma }$ in quel punto di ${\displaystyle \Gamma }$, che corrisponde al valore ${\displaystyle m}$, che corrisponde al valore ${\displaystyle m}$ della ${\displaystyle t}$, ha per equazione ${\displaystyle (\alpha )}$. Cioè la curva ${\displaystyle \Gamma }$ è la curva, le cui tangenti hanno per equazione ${\displaystyle (\alpha )}$, cioè è la curva inviluppo delle rette ${\displaystyle (\alpha )}$.

Si noti che, se si volesse dalla data equazione dedurre ${\displaystyle y'}$ come funzione delle ${\displaystyle x,y}$, la ${\displaystyle y'}$ sarebbe una funzione implicita delle ${\displaystyle x,y}$, a cui proprio lungo ${\displaystyle \Gamma }$ non sono applicabili i teoremi del § 84, perchè lungo ${\displaystyle \Gamma }$ è nullo ${\displaystyle \varphi '(y')+x}$, che è appunto la derivata parziale del primo membro della nostra equazione rispetto ad ${\displaystyle y'}$. Perciò ${\displaystyle \Gamma }$ si dice la soluzione singolare.