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capitolo xviii — § 111

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2° Integrare l'equazione $y=x\psi (y')+\varphi (y')$ ( $\varphi ,\psi$ funzioni derivabili).

Ris. Derivando si ottiene:

$y'=\psi (y')+[x\psi '(y')+\varphi '(y')]{\frac {dy'}{dx}}$ .

Posto $y'=t$ , se ne deduce

${\frac {dx}{dt}}=x{\frac {\psi '(t)}{t-\psi (t)}}+{\frac {\varphi '(t)}{t-\psi (t)}}$ ,

escluso il caso $\psi (t)=t$ , che abbiamo già trattato all'esempio 1°.

Questa equazione, in cui si considera $t$ come variabile indipendente ed $x$ come funzione incognita, è un'equazione differenziale lineare del primo ordine che già sappiamo risolvere. E si trova

$x=e^{\int {\frac {\psi (t)}{t-\psi (t)}}dt}\left\{\int {\frac {\varphi '(t)}{t-\psi (t)}}e^{-\int {\frac {\psi '(t)}{t-\psi (t)}}dt}dt+{\text{cost.}}\right\}$ .

L'equazione differenziale dà poi

$y=x\psi (t)+\varphi (t)$ .

Restano così espressi $x,y$ in funzione di un parametro $t$ ; e con un'eliminazione si potrebbe (volendo) dedurne la $y$ espressa in funzione di $x$ . Si verifichi che effetivamente ${\frac {dy}{dx}}=t$ .

3° Integrare

$(ax+by+c)dx+(hx+ky+l)dy=0$

$(a,b,c,h,k,l={\text{cost.}}$ .

Ris. Posto $x=\xi +m,y=\eta +n$ ( $m,n$ costanti), l'equazione diventa: {{centrato| $(a\xi +b\eta +\mu )d\xi +(h\xi +k\eta +\lambda )d\eta =0$ ove:

$\mu =am+bn+c$ ,

$\lambda =hm+hn+l$ .

Se $ak+bh\not =0$ , si possono scegliere le $m,n$ in modo che $\lambda =\mu =0$ .

L'equazione diventa:

$(a\xi +b\eta )\xi +(h\xi +k\eta )d\eta )=0$ ,

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