[[Categoria:Pagine che usano RigaIntestazione|Lezioni di analisi matematica.pdf{{padleft:391|3|0]]

che è omogenea di primo grado; e quindi le variabili si separano tosto assumento ${\displaystyle {\frac {\eta }{\xi }}=z}$ come nuova variabile al posto di ${\displaystyle \eta }$, ecc.

Sia invece ${\displaystyle ak-bh=0}$. Se ${\displaystyle a=b=h=k=0}$ l'equazione si risolve immediatamente. Se così non è, almeno una delle due espressioni ${\displaystyle ax+by+c}$ o ${\displaystyle hx+ky+d}$, p. es la prima, non è identicamente costante. Postala uguale a ${\displaystyle t}$, la nostra equazione diventa:

                    ${\displaystyle tdx+(pt+q)dy=0}$          (${\displaystyle p,q=}$ cost.).

Posto al posto della ${\displaystyle x}$ o della ${\displaystyle y}$ i valori che si traggono dalle ${\displaystyle ax+by+c=t}$, la nostra equazione diventa del tipo:

oppure:

che si integra subito, separando le variabili (dividendo per ${\displaystyle \alpha t+\beta }$).

1° Integrare le equazioni:

2° Integrare il sistema di equazioni (ove ${\displaystyle s}$ è la variabile indipendente):

Si potrà porre per la prima equazione ${\displaystyle x'={\text{cos}}z,y'={\text{sen}}z}$; e, sostituendo nella seconda, si trova: {{centrato|${\displaystyle {z'}^{2}=k^{2}}$, donde ${\displaystyle z'=\pm k}$, ${\displaystyle z=\pm ks+h}$ (${\displaystyle h=}$ cost. arbitraria). E se ne trae: ${\displaystyle x=\int \,{\text{cos}}(\pm ks+h)ds,y=\int \,{\text{sen}}(\pm ks+h)ds}$, dove è poi da distinguere il caso ${\displaystyle k=0}$ da quello ${\displaystyle k\not =0}$.

3° Risolvere l'equazione ${\displaystyle {\frac {{y''}_{x}}{(1+{y'}_{x}^{2})^{\frac {3}{2}}}}=k}$ (${\displaystyle k=}$ cost.).