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Si noti che, nell'enunciato di questo teorema, l'equazione si suppone risoluta rispetto alla derivata di ordine massimo.

Questo teorema consta di tre parti: una che afferma l'esistenza l'altra che afferma la unicità di tale funzione ${\displaystyle y}$.

${\displaystyle \beta }$) Vediamo ora pertanto un metodo abbastanza generale di integrazione delle equazioni differenziali, che può riuscire utilissimo quando non siano applicabili altri metodi.

Si abbia l'equazione differenziale:

                                   ${\displaystyle y^{(n)}=\varphi (x,y,y',y'',.....,y^{(n-1)})}$               (1)

dove il secondo membro possegga finite e continue tutte le derivate, e sia sviluppabile in serie di potenze di ${\displaystyle x-a,y-b_{0},y'-b_{1},.....,y^{(n-1)}-b_{n-1}}$.

Consideriamo allora il punto ${\displaystyle x=a}$ e supponiamo sviluppabile l'integrale ignoto ${\displaystyle y}$ nell'intorno del punto ${\displaystyle a}$ mediante la serie di aylor:

dove <mayj>y_0, y'_0</math> ecc. sono i valori di ${\displaystyle y,y'}$, ecc. nel pnto ${\displaystyle x0a}$.

Intanto della nostra equazione differenziale 81) è facile, derivando successivamente, calcolare ${\displaystyle y^{(n)},y^{(n+1)},y^{(n+2)}}$ in funzione di ${\displaystyle x,y,y'.....y^{(n-1)}}$.

Infatti, derivando rispetto alla ${\displaystyle x}$ la (1), si ottengono equazioni del tipo seguente:

                              ${\displaystyle y^{(n+1)}=\varphi _{1}(x,y,y',.....,y^{(n)})}$                    (${\displaystyle \alpha }$)

                              ${\displaystyle y^{(n+2)}=\varphi _{2}(x,y,y',.....,y^{8n+1)})}$                    (${\displaystyle \beta }$)

Ora, se poniamo in ${\displaystyle \varphi _{1}}$ al posto di ${\displaystyle y^{(n)}}$ il valore dato dalla (1), in ${\displaystyle \varphi _{2}}$ al posto di ${\displaystyle y^{(n)}}$ e ${\displaystyle y^{(n+1)}}$ i valori dati rispettivamente dalla (1) e dalla (${\displaystyle \alpha }$), nella successiva ${\displaystyle \varphi _{2}}$ al posto di ${\displaystyle y^{(n)},y^{(n+1)}}$ e ${\displaystyle y^{(n+2)}}$ i valori dati dalle 81), (${\displaystyle \alpha }$), (${\displaystyle \beta }$) e così di seguito, otteniamo appunto

espresse solo mediante ${\displaystyle y,y',y'',.....,y^{(n-1)}}$. Dati quindi ad arbitrio per ${\displaystyle x=x_{0}}$ i valori ${\displaystyle b_{0},b_{1},.....,b_{n-1}}$ delle ${\displaystyle y,y',.....,y^{(n-1)}}$, si potranno calcolare i valori che per ${\displaystyle x=a}$ assumono ${\displaystyle y^{(n)},y^{(n-1)},y^{(n+2)},.....}$

Sostituendoli allora nella (2) si ha una funzione ${\displaystyle y}$ data sotto forma di una serie ordinata secondo le potenze di ${\displaystyle x-a}$, e nella quale compaiono le ${\displaystyle n}$ cosanti arbitrarie ${\displaystyle b_{0},b_{1},.....,b_{n-1}}$.