[[Categoria:Pagine che usano RigaIntestazione|Lezioni di analisi matematica.pdf{{padleft:397|3|0]]

Si dicono equazioni lineari le equazioni del tipo

(perchè di primo grado nelle ${\displaystyle y,y',.....,y^{(n)}}$), dove con ${\displaystyle p_{1},p_{2},.....,p_{n},f}$ indichiamo funzioni arbitrarie delle ${\displaystyle x}$. Se ${\displaystyle f(x)=0}$, l'equazione di dice omogenea, perchè il tal caso manca il termine ${\displaystyle f(x)}$ di grado zero nella ${\displaystyle y}$ e derivate. Noi abbiamo al § 111, ${\displaystyle \beta }$, studiato la (1) nel caso ${\displaystyle n=1}$, cioè nel caso di un'equazione del primo ordine. Supponiamo che ${\displaystyle y_{1},y_{2}}$ siano due integrali della (1) non omogenea. Sarà:

                    ${\displaystyle y_{1}^{(n)}+p_{1}y_{1}^{(n-1)}+.....+p_{n}y_{1}=f(x)}$                    (2)

                    ${\displaystyle y_{2}^{(n)}+p_{1}y_{2}^{(n-1)}+.....+p_{n}y_{2}=f(x)}$                     (3)

Sostituendo (3) da (2) si verifica tosto che ${\displaystyle z=y_{2}-y_{y}1}$ soddisfa all'equazione

               ${\displaystyle z^{(n)}+p_{1}z^{(n-1)}+.....+p_{n-1}z'+p_{n}z=0}$               (4)

omogenea, che si deduce da (1) ponendovi ${\displaystyle f(x)=0}$. Se dunque ${\displaystyle y}$ è una particolare soluzione di 81), ogni altra soluzione di (1) è del tipo ${\displaystyle y+z}$, dove ${\displaystyle z}$ è una soluzione di (4), anche ${\displaystyle y+z}$ soddisfa ad (1). Dunque per carcare tutte e sole le soluzioni della (1) non omogenea, basta conoscerne una sola soluzione: tutte le altre si ottengono sommando con essa tutte le soluzioni della (4) omogenea.

Lagrange ha dimostrato, come vedremo meglio in seguito, che, se si sa risolvere la (4) omogenea, è sempre possibile trovare una soluzione della (1) non omogenea: e quindi, per quanto precede, che si sa risolvere pure la (1) sapendo integrare la (4).

Vediamo quindi di studiare l'equazione omogenea:

                    ${\displaystyle y^{(n)}+p_{1}y^{(n-1)}+.....+p_{n}y=0}$                    (5)

Se ${\displaystyle z_{1}}$ è una funzione che la risolve, è facile vedere che pure ${\displaystyle k_{1}z_{1}}$, dove ${\displaystyle k_{1}}$ è una costante affatto arbitraria, è una soluzione dell'equazione; e infatti:

poichè il secondo fattore compreso tra parentesi è zero (essendo la ${\displaystyle z_{1}}$ una soluzione dell'equazione).