Pagina:Lezioni di analisi matematica.pdf/399

Questa pagina è stata trascritta e formattata, ma deve essere riletta.

equazioni differenziali

383

[[Categoria:Pagine che usano RigaIntestazione|Lezioni di analisi matematica.pdf{{padleft:399|3|0]]

della loro risolubilità in un modo e in uno solo, se il determinante del coefficiente delle incognite $k$

$W={\begin{vmatrix}z_{1}&z_{2}&.....z_{n}\\z'_{1}&z'_{2}&.....z'_{n}\\z''_{1}&z''_{2}&.....z''_{n}\\\cdots &\cdots &\cdots \\z_{1}^{(n-1)}&z_{2}^{(n-1)}&.....z_{n}^{(n-1)}\end{vmatrix}}$

è differente da zero. Tale determinante si chiama il Wronskiano delle $z$ . Possiamo dunque determinare le $k$ soddisfacenti ad (1), (2) se il Wronskiano delle $z$ è differente da zero.

Le $k$ così determinate, se $y$ è arbitraria, non saranno generalmente costanti, ma soddisferanno ad alcune equazioni, le quali dicono che la $y$ definita da 81) soddisfa a (2).

Derivando (1) e confrontando con la prima delle (2) si trova che

$y'=(k_{1}z'_{1}+k_{2}z'_{2}+.....+k_{n}z'_{n})+\left(k'_{1}z_{1}+k'_{2}z_{2}+\right.$

$\left.+.....+k'_{n}z_{n}\right)=k_{1}z'_{1}+k_{2}z'_{2}+.....+k_{n}z'_{n}$ .

Sarà pertanto

(3) $k'_{1}<_{1}+k'_{2}z_{2}+.....+k'_{n}z_{n}=0$ .

Nello stesso modo, confrontando la derivata di ciascuna delle equazioni (2) (l'ultima esclusa) con la seguente equazione (2), si trova

$(3)^{bis}\left\{{\begin{matrix}k'_{1}z'_{1}&+k'_{2}z'_{2}&+.....+k'_{n}z'_{n}&=0\\k'_{1}z''_{1}&+k'_{2}z''_{2}&+.....+k'_{n}z''_{n}&=0\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\k'_{1}z_{1}^{(n-1)}&+k'_{2}{z_{2}}^{(n-1)}&+.....+k'_{n}z_{n}^{(n-1)}&=0\end{matrix}}\right.$

Viceversa, se le $k'$ soddisfano alle (3) e (3)_bis la $y$ definita da (1) soddisfa alle (2). Derivando l'ultima dalla (2) si ha:

$y^{(n)}=k_{1}z_{1}^{(n)}+k_{2}z_{2}^{(n)}+.....+k_{n}z_{n}^{(n)}+$

$+k'_{1}z_{1}^{(n-1)}+k'_{2}z_{2}^{(n-1)}.....+k'_{n}z_{n}^{(n-1)}$ .

Indicando con $p_{1},p_{2},.....,p_{n}$ funzioni arbitrarie della $x$ , da questa equazione, dalle (1) e (2) si deduce immediatamente che:

$\left.{\begin{matrix}y^{(n)}+p_{1}y^{(n-1)}&+p_{2}y^{(n-2)}&+.....+p_{n-1}y'+p_{n}y=\\=k_{1}[z_{1}^{(n)}&+p_{1}z_{1}^{(n-1)}&+.....+p_{n-1}z_{1}+p_{n}z_{1}]+\\+k^{2}[z_{2}^{(n)}&+p_{1}z_{2}^{(n-1)}&+.....+p_{n-1}z_{2}+p_{n}z_{2}]+\\\cdots &\cdots &\cdots \\+k_{n}[z_{n}^{(n)}&+p_{1}z_{n}^{(n-1)}&+.....+p_{n-1}z_{n}+p_{n}z_{n}]+\\+k'_{1}z_{1}^{(n-1)}&+k'_{2}z_{2}^{(n-1)}&+.....+k'_{n}z_{n}^{(n-1)}.\end{matrix}}\right\}(4)$ .

Questa voce è stata pubblicata da Wikisource. Il testo è rilasciato in base alla licenza Creative Commons Attribuzione-Condividi allo stesso modo. Potrebbero essere applicate clausole aggiuntive per i file multimediali.