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siamo dunque rispondere affermativamente alla domanda che chiude il § 114 affermando che:

Se sono note ${\displaystyle \mathrm {n} }$ soluzioni ${\displaystyle \mathrm {z_{1},z_{2},.....z_{n}} }$ della equazione omogenea (1) od (1)_bis a Wronskiano differente da zero, tutte le altre soluzioni ${\displaystyle \mathrm {y} }$ sono le loro combinazioni lineai ${\displaystyle \mathrm {k_{1}z_{1}+k_{2}z_{2}+.....+k_{n}z_{n}} }$ a coefficienti ${\displaystyle \mathrm {k} }$ costanti.

Ma i nostri risultati permettono di affermare di più- Supponiamo che ${\displaystyle y}$ soddisfi non all'equazione omogenea (1)_bis, ma all'equazione non omogena.

(4) ${\displaystyle y^{(n)}+p_{1}y^{(n-1)}+.....+p_{n-1}y'+p_{n}=f(x)}$,

ferme restando le altre ipotesi sulle ${\displaystyle z}$. In tal caso, come sopra, si potranno ancora scrivere le (2), mentre la (4)_bis formano un sistema di ${\displaystyle n}$ equazioni di primo grado nelle ${\displaystyle k'}$, che si possono risolvere con la regola di Leibniz-Cramer, perchè il determinante dei coefficienti delle incognite è il Wronskiano delle ${\displaystyle z}$, differenze da zero. Si possono così determinare le ${\displaystyle k'}$ e quindi con ${\displaystyle n}$ integrazioni (una per ognuna delle ${\displaystyle k'}$) dedurne i valori delle ${\displaystyle k}$. Ognuna delle ${\displaystyle k}$ porta perciò l'indeterminazione di una costante additiva; cioè, se ${\displaystyle h_{r}}$ è un integrale indefinito della ${\displaystyle k'_{r}}$ testè determinata, si ha:

Cosicchè sarà:

Il secondo addendo del terzo membro è una combinazione lineare delle ${\displaystyle z}$, a coefficienti costanti c, da scegliersi in modo qualsiasi, cioè è una soluzione qualsiasi della equazione omogenea 81) od (1)_bis. E ciò è naturale perchè al § 114 abbiamo già visto che da una soluzione di (4) si passa alla soluzione più generale, aggiungendo ad essa la soluzione più generale della equazione omogenea corrispondente. Quindi:

Se le ${\displaystyle \mathrm {z_{r}} }$ sono le ${\displaystyle \mathrm {n} }$ soluzioni a Wronskiano differente da zero dell'equazione omogenea (1) od (1)_bis, la soluzione più generale ${\displaystyle \mathrm {y} }$ dell'equazione (4) non omogena si ottiene ponendo ${\displaystyle \mathrm {y=k_{1}z_{1}+k_{2}z_{2}+.....+k_{n}z_{n}} }$, ove le ${\displaystyle \mathrm {k} }$ siano integrali di quelle fun-