[[Categoria:Pagine che usano RigaIntestazione|Lezioni di analisi matematica.pdf{{padleft:402|3|0]]zioni ${\displaystyle \mathrm {k} }$, che si ottengono risolvendo le equazioni (2) e (3)_bis, algebriche lineari nelle ${\displaystyle \mathrm {k'} }$.

Si noti, che, se ${\displaystyle f(x)=0}$, la (3)_bis si riduce alla (3); le (2) e le (3)_bis dicono ${\displaystyle k'=0}$; cioè ${\displaystyle k=}$ cost., come avevamo già osservato.

Il metodo qui svolto di integrare la (trovare le soluzioni della) (4) si chiama metodo della variazione delle costanti arbitrarie, in quando che alle ${\displaystyle k}$, costanti arbitrarie nella formola che risolve (1), si sostituiscono conveniente funzioni di ${\displaystyle x}$ nella formola che risolve (4).

${\displaystyle \alpha }$) Supposte ora le ${\displaystyle p_{i}}$ costanti, cerchiamo se una funzione ${\displaystyle y=e^{ex}}$ (dove ${\displaystyle c=}$ cost.) può soddisfare alla: {{centrato|${\displaystyle y^{(n)}+p_{1}y^{(n-1)}+p_{2}y^{(n-2)}+.....+p_{n}y=0}$. (1) Si osservi che dalla ${\displaystyle y=ce^{ex}}$ si deduce:

Sostituendo in (1) si trova che deve essere:

e, poichè ${\displaystyle e^{cx}}$ non può essere zero, dovrò essere nullo l'altro fattore; dunque, affinchè ${\displaystyle y=e^{cx}}$ rappresenti una soluzione particolare dell'equazione, è necessario e sufficiente che ${\displaystyle c}$ sia una delle ${\displaystyle n}$ radici dell'equazione algebrica (detta equazione caratteristica):

la quale si forma dall'equazione differenziale, ponendo in luogo di ${\displaystyle y}$ e delle sue derivate successive le potenze successive delle incognite ${\displaystyle c}$. Si noti che al posto di ${\displaystyle y'}$ è posto ${\displaystyle c^{1}=c}$, ed al posto di ${\displaystyle y}$ la ${\displaystyle c^{0}=1}$.

Se dunque noi risolviamo la (2) e supponiamo che le sue ${\displaystyle n}$ radici siano tutte reali e disuguali,

le funzioni:

rappresentano altrettante soluzioni particolari distinte dall'equazione differenziale.