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Per questa via abbiamo trovato tutti gli integrali, anche complessi, di (1). Vogliamo trovare quelli di essi che sono reali, supposto naturalmente che le ${\displaystyle p_{i}}$ sieno costanti reali- In tal caso, se (2) ha una radice complessa semplice ${\displaystyle a+i\,b}$, essa ha anche la radice complessa coniugata ${\displaystyle a-i\,b}$; cosicchè insieme all'integrale ${\displaystyle e^{(a+ib)x}}$ vi sarà anche l'integrale ${\displaystyle e^{(a-ib)x}}$. Si debbono ora scegliere le costanti ${\displaystyle k_{1}=l_{1}+i\,m_{1},k_{2}=l_{2}+i\,m_{2}}$ (${\displaystyle l,m=}$ cost. reali) in guisa che ${\displaystyle k_{1}e^{(a+ib)x}+k_{2}e^{(a-ib)x}}$ sia reale, ossia non muti mutando ${\displaystyle i}$ in ${\displaystyle -i}$. Si debbono in altre parole scegliere le costanti ${\displaystyle l,m}$ in guisa che

Ciò avviene allora e allora soltanto che ${\displaystyle k_{1}}$ e ${\displaystyle k_{2}}$ sono immaginarie coniugate, ossia che ${\displaystyle l_{1}=l_{2},m_{1}=-m_{2}}$; nel qual caso

Posto ${\displaystyle 2l_{1}=h_{1},-2m_{1}=h_{2}}$, questo integrale diventa

In modo analogo si vede che, se ${\displaystyle a+ib}$ fosse radice doppia di (2) e quindi altrettanto avvenisse di ${\displaystyle a-i\,b}$, si trovano anche gli integralii

e così via. In modo simile si trattano le altre coppie di radici complesse coniugate; e si vede facilmente che così si ottengono tutti gli integrali reali di (1). In conclusione l'integrale reale generale di (1) è una combinazione lineare a coefficienti costanti reali arbitrari di integrali particolari del tipo

1°) L'equazione ${\displaystyle y''+2y'+3y=0}$ ha ${\displaystyle -1\pm i{\sqrt {2}}}$ per radici dell'equazione caratteristica ${\displaystyle c^{2}+2c+3=0}$. Il suo integrale reale generale è quindi ${\displaystyle e^{-x}}$ (${\displaystyle h_{1}{\text{cos}}{\sqrt {2}}x+h_{2}\,{\text{sen}}{\sqrt {2}}x}$), dove ${\displaystyle h_{1},h_{2}}$ sono costanti reali arbitarie.

2°) L'equazione ${\displaystyle y''-2y'+y=x}$ ha le radici dell'equazione ${\displaystyle c^{2}-2c+1=0}$ caratteristica della corrispondente equazione omogenea