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smorzato (p. es., un pendolo che torna alla posizione di equilibrio in un mezzo che presenta tale attrito da impedirgli ogni ulteriore oscillazione).

Se ${\displaystyle p=0}$, allora ${\displaystyle q=k^{2}}$; abbiamo in questo caso un puro fenomeno vibratorio; quando ${\displaystyle kx}$ è aumentato di ${\displaystyle 2\pi }$, ossia quando il tempo ${\displaystyle x}$ è aumentato di ${\displaystyle {\frac {2\,\pi }{k}}}$ il sistema riprende le condizioni iniziali; cosicchè ${\displaystyle \mathrm {\frac {2,\pi }{k}} }$ è la derivata di una oscillazione completa.

Se ${\displaystyle p>0}$, e se ${\displaystyle k}$ è reale, allora abbiamo ancora un fenomeno vibratorio. Però l'esponenziale ${\displaystyle e^{-{\frac {p}{2}}x}}$, che tende a zero al crescere di ${\displaystyle x}$, ci avverte che le vibrazioni vanno diminuendo di ampiezza, o come si suol dire si smorzano. La durata di una oscillazione è sempre ${\displaystyle \mathrm {\frac {2\,\pi }{k}} }$. Per fissare le idee, il lettore può pensare alla scarica di un condensatore di capacità ${\displaystyle C}$ in un filo di resistenza ${\displaystyle R}$ il cui coefficiente di autoinduzione sia ${\displaystyle L}$. Se ${\displaystyle y}$ è l'intensità della corrente all'istante ${\displaystyle x}$, la fisica insegna che ${\displaystyle y''+py'+q=0}$ dove sia posto:

Per ${\displaystyle p=0}$ si ha ${\displaystyle k={\sqrt {\frac {1}{LC}}}}$.

Dunque in tal caso si ha con Thomson che ${\displaystyle 2\,\pi {\sqrt {LC}}}$ è la durata di una vibrazione, e, se ${\displaystyle c}$ è la velocità di propagazione delle onde elettriche, che ${\displaystyle 2\,\pi \,c{\sqrt {LC}}}$ è la lunghezza d'onda.

Se abbiamo un equazione alle derivate parziali, cioè se la funzione incognita dipende da più variabili indipendenti, allora, come si può verificare sugli esempi dei §§ 93 e 110, una soluzione di tale equazione non si può più definire, prefissando un numero finito di costanti (le ${\displaystyle b_{0},b_{1},...,b_{n-1}}$ del teorema di Cauchy a pag. 377), perchè la soluzione più generale di tale equazione dipende da funzioni arbitrarie.