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il seg. teorema, che si può generalizzare a tutte le equazioni alle derivate parziali del primo ordine. Sia data l'equazione ${\displaystyle X{\frac {\partial f}{\partial x}}+Y{\frac {\partial f}{\partial y}}=o}$, ove ${\displaystyle X,Y}$ sono funzioni note di ${\displaystyle x,y}$, e dove ${\displaystyle f}$ è la funzione incognita. Sia ${\displaystyle X\not =0}$. Consideriamo l'equazione ${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {Y}{X}}}$ alle derivate ordinarie; e la ${\displaystyle \varphi (x,y)=}$ cost. definisca la sua soluzione più generale. Sarà ${\displaystyle X{\frac {\partial \varphi }{\partial x}}+Y{\frac {\partial \varphi }{\partial y}}=0}$, perchè ${\displaystyle {\frac {Y}{X}}={\frac {dy}{dx}}}$ deve essere uguale a quel valore di ${\displaystyle y'}$, che dalla ${\displaystyle \varphi =}$ cost. si deduce in virtù del teorema delle funzioni implicite. Poniamo ${\displaystyle x=x_{1},\varphi (x,y)=y_{1}}$ e assumiamo ${\displaystyle x_{1}y_{1}}$ come nuove variabili indipendenti, come sarà generalmente possibile. Sarà:

La nostra equazione diventa perciò ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}=0}$. Cioè le funzioni ${\displaystyle f}$ cercate sono tutte e sole le funzioni della ${\displaystyle y_{1}}$, cioè della ${\displaystyle \varphi }$. (Cfr. § 110, pag. 368).

Così p. es. le soluzioni di ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}+{\frac {\partial f}{\partial y}}=0}$ (${\displaystyle X=Y=1}$) sono le funzioni di ${\displaystyle x-y}$, perchè le soluzioni di ${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=1}$ si pttengono risolvendo la ${\displaystyle x-y=}$ cost.

In modo simile (cfr. il § 110, pag. 369) le soluzioni di

ove le ${\displaystyle X,X_{1},...,X_{n}}$ sono funzioni di ${\displaystyle x,x_{1},x_{2},.....,x_{n}}$, sono tutte e sole le funzioni di ${\displaystyle \varphi _{1},\varphi _{2},.....,\varphi _{n}}$, se le soluzioni del sistema

si ottengono risolvendo le ${\displaystyle \varphi _{1}=}$ cost., ${\displaystyle \varphi _{2}=}$ cost., ....., ${\displaystyle \varphi _{n}=}$ cost. Ma non è nostro scopo approfondire e precisare simili studii.