[[Categoria:Pagine che usano RigaIntestazione|Lezioni di analisi matematica.pdf{{padleft:413|3|0]](È necessario supporre che non sia ${\displaystyle x'_{0}=y'_{0}=z'_{0}=0}$; si esamini il caso che soltanto alcune di queste derivate siano nulle).

I coseni direttori di tale tangente ${\displaystyle r}$ saranno dunque ${\displaystyle \lambda x'_{0},\lambda y'_{0},\lambda z'_{0}}$, dove ${\displaystyle \lambda }$ è un fattore di proporzionalità definito dalla

E perciò:

e quindi:

dove il segno da scegliersi dipenderà dal verso della tangente ${\displaystyle r}$ scelto come positivo.

Sia ${\displaystyle S}$ una fuperficie ${\displaystyle f(x,y,z)=0}$; e siano ${\displaystyle f'_{x},f'_{y},f'_{z}}$ continue nell'intorno di un punto ${\displaystyle A=(x_{0},y_{0},z_{0})}$ di ${\displaystyle S}$. Siano

                                        ${\displaystyle x=x(t)}$, ${\displaystyle y=y(t)}$; ${\displaystyle z=z(t)}$                    (1)

(dove i secondi membri sono funzioni derivabili di una parametro ${\displaystyle t}$9 le equazioni di una curva ${\displaystyle C}$ posta su ${\displaystyle S}$ ed uscente da ${\displaystyle A}$, La teoria delle funzioni implicite prova che di tali curve ${\displaystyle C}$ ne esistono infinite, se ${\displaystyle f'_{x},f'_{y},f'_{z}}$ non sono tutte nulle in ${\displaystyle A}$. Sostituendo nella ${\displaystyle f(x,y,z)}$ alle ${\displaystyle x,y,z}$ i valori dati da (1), si otterrà una funzione della ${\displaystyle t}$ identicamente nulla, perchè tutti i punti di ${\displaystyle C}$ giacciono sulla ${\displaystyle S}$. La derivata di questa funzione della ${\displaystyle t}$ sarà quindi nulla in tutti i punti ${\displaystyle C}$, e in particolare nel punto ${\displaystyle A}$. Sarà che:

                    ${\displaystyle \left({\frac {\partial f}{\partial x}}\right)_{0}x'_{0}+\left({\frac {\partial f}{\partial y}}\right)_{0}y'_{0}+\left({\frac {\partial f}{\partial z}}\right)_{0}z'_{0}=0}$,                (2)

dove l'indice ${\displaystyle 0}$ è posto per indicare che le derivate sono calcolate nel punto ${\displaystyle A}$. La tangente in ${\displaystyle A}$ alla ${\displaystyle C}$ ha per equazione

                              ${\displaystyle {\frac {x-x_{0}}{x'_{0}}}={\frac {y-y_{0}}{z'_{0}}}={\frac {z-z_{0}}{z'_{0}}}}$.               (3)