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Nel primo membro di (2), che è un polinomio omogeneo nelle ${\displaystyle x'_{0},y'_{0},z'_{0}}$, potrò a queste derivate sostituire le <${\displaystyle x-x_{0},y-y_{0},z-z_{0}}$, che per le (3) sono ad esse proporzionali.

Ne deduciamo che i punti ${\displaystyle x,y,z}$ della tangente in ${\displaystyle A}$ ad una qualsiasi delle nostre curve ${\displaystyle C}$ soddisfano alla:

La (4) non è un'identità, perchè già abbiamo escluso che ${\displaystyle \left({\frac {\partial f}{\partial x}}\right)_{0}=\left({\frac {\partial f}{\partial y}}\right)_{0}=\left({\frac {\partial f}{\partial z}}\right)=0}$: e, poichè è di primo grado nelle ${\displaystyle x,y,z}$, essa è l'equazione di un piano: il cosidetto piano tangente alla ${\displaystyle S}$ nel punto ${\displaystyle A}$. Quindi:

Se ${\displaystyle \mathrm {f(x,y,z)=0} }$ è l'equazione di una superficie ${\displaystyle \mathrm {S} }$, e se in un intorno di un punto ${\displaystyle \mathrm {A} }$ di ${\displaystyle \mathrm {S} }$ le ${\displaystyle \mathrm {f'_{x},f'_{y},f'_{z}} }$ sono finite e continue, mentre in ${\displaystyle \mathrm {A} }$ queste derivate non sono tutte nulle, si possono tirare su ${\displaystyle \mathrm {S} }$ infinite curve (dotate di tangente) uscenti da ${\displaystyle \mathrm {A} }$. Le tangenti in ${\displaystyle \mathrm {A} }$ a tutte queste curve giacciono in uno stesso piano (4): il piano tangente alla ${\displaystyle S</manth>nelpunto<math>A}$.

Se l'equazione della superficie è data sotto la forma:

ossia, se ${\displaystyle f=\varphi (x,y)-z}$, l'equazione del piano tangente diventa:

Adottando la notazione di Monge:

                                        ${\displaystyle {\frac {\partial \varphi }{\varphi x}}=p}$,          ${\displaystyle {\frac {\partial \varphi }{\partial y}}=q}$,

essa si ridurrà a

che è l'equazione cercata.

Volendo trovare i coseni direttori della normale ${\displaystyle n}$ al piano, basterà ricordare che tali coefficienti sono proporzionali ai coefficienti di ${\displaystyle x,y,z}$, cioè a ${\displaystyle p_{0},q_{0},-1}$.

Essi saranno ${\displaystyle \lambda p_{0},\lambda q_{0},-\lambda }$, dove il fattore ${\displaystyle \lambda }$ di proporzionalità si determina ricordando che deve essere